Teoria per orale Analisi matematica 1

Assioma Completezza

A, B ⊂ ℝ

A ≠ ∅, B ≠ ∅

∀a ∈ A, ∀b ∈ B

a ≤ b

∃c ∈ ℝ: a ≤ c ≤ b

insieme è limitato superiormente

∃k ∈ ℝ: ∀a ∈ A ⇒ a ≤ k

• Es. A=[1/n]

insieme limitato superiormente

∃k ∈ ℝ

∃a ∈ A: a > k

• Es. A=[n^2]

insieme limitato inferiormente

∃h ∈ ℝ: ∀a ∈ A ⇒ h ≤ a

• Es. A=[n^2]

ILLIMITATO INFERIORMENTE

∀h ∈ ℝ, ∃a ∈ A : a < h

A = {¹⁄_n}

Un insieme è limitato se è limitato sia inferiormente sia superiormente

∃ b, k ∈ ℝ : b ≤ a ≤ k , ∀a ∈ A

Un insieme è illimitato se non è limitato

∃ v ∈ 𝕌 ∃a ∈ A : |a| + 1 > u

ESTREMO SUPERIORE

A ⊆ ℝ, A ≠ ∅ A è limitato superiormente

l'estremo superiore sup A :

1. è un maggiorante → sup ≥ a, ∀a ∈ A
2. e è il più piccolo tra i maggioranti → ∀k maggiorante di A → s ≤ k

ESTREMO INFERIORE

A ⊆ ℝ, A ≠ ∅ A è limitato inferiormente

l'estremo inferiore inf A :

1. è un minorante → inf ≤ a , ∀a ∈ A
2. e il più grande tra i minoranti → ∀k minorante di A → h ≥ inf

Teorema di regolaritÁ delle successioni

Se _an × una successione monotona ⇒ _an × regolare

(P: _an × ⭢ _an+1 (× monotona crescente)

T.S.: _an ⭢ ^y (× regolare)

• s = sup _an ∈ ℝ × successione convergente
• ε > 0 × successione divergente

1) sup _an ∈ ℝ

1. s ≤ _an
2. ∀ε > 0 ∃n̅ ∈ℕ : ∀n > n̅ ⇒ s - ε ≤ _an ≤ s + ε

∀n ≥ n̅

_an ≥ _a⎲⎳

s - ε < _a⎲⎳ ≤ _an ≤ s + ε

lim_{n⭢+∞ an} = s

dimostriamo dimostrato che il limite della successione esitste ed è il sup, perchè l’abbiamo sento, è la definizione di limite ovvero

∀ε > 0 ∃n ∈ℕ : ∀n > n̅ ⇒ s - ε < _an < s + ε

2) sup _an = +∞ ⇒ an diverge superiormente

∀M > 0 ∃n ∈ℕ : _a⎲⎳ > M

dimostriamo dimostrato che effettivamente il limite × +∞ perché _a⎲⎳ > M

∀n > n̅

_a⎲⎳ ≥ _an ≥ _a⎲⎳, M

_an ≥ _a⎲⎳

∀M > 0 ∃n ∈ℕ : _an, n̅ ⇒ _{an an⭢}M

⇔ lim_{n⭢+∞ an} = +∞

Costruiamo le successioni di somme parziali di

S₁ = a₁

S₂ = a₁ + a₂

S_n = a₁ + a₂ + … + a_n

T₁ = b₁

T₂ = b₁ + b₂

T_n = b₁ + b₂ + … + b_n

S_n ≤ T_n

∑

S ≤ T

c.v.d.

CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO

∑ a_n

∑ b_n

IP:

1) a_n, b_n > 0

2)

⇒ ∑ a_n e ∑ b_n

Se una diverge l'altra diverge

Se una converge l'altra converge

e viceversa

NB:

• I punti isolati sono anche punti di frontiera
• I punti interni sono sempre punti di accumulazione
• I punti di frontiera che non sono isolati sono di accumulazione

Un insieme è

• Chiusose A = CAoppure A _{C Ā}
• Compattose è chiuso e limitato
• Connessose e un intervallo (retto individuato)

Limite di funzione

∀I_ε ∃I_x₀ ∀x ∈ I_x₀ ∩ A-{x₀}

ρ(x) ∈ I_ε

qualunque modo siaxo nell'intorno o nel dominio

x scriverlo e specifico

lim x→x₀ ρ(x)= l

1. ∀ε>0∃d=δ> 0: ∀x ∈ A, 0< |x-x₀|0∃N>N> 0 : ∀x ∈ A, x>N
2. ∀N>0∃N=N> 0: ∀x ∈ A, x M

   -∞ ρ(x) < -M

   es. lim ρ(x) = +∞

   ∀∞ ∃N=N(H) > 0: ∀x ∈ Ah x ρ(x) ) H

   Teorema di Weierstrass

   1. f: D → ℝ
   2. D ⊆ ℝ
   3. D ≠ ∅
   4. f ∈ C ([a,b])
   • Dim. 1ª parte: Che esista il massimo

   5 = sup f(x) → ∃ x₂ ∈ [a,b]: f(x₂) = 5?

   I₁ = [a₁, b₁]

   1. a ≤ a₁ < b₁ ≤ b
   2. b₁ - a₁ = ^{b - a}⁄₂
   3. sup _I2 f(x) = 5

   preso il punto medio c e rieseguo l'intervallo dove il sup rimane quello di partenza

   I₂ = [a₂, b₂]:

   1. a ≤ a₁ < a₂ < b₂ ≤ b₁ ≤ b
   2. b₂ - a₂ = ^{b - a}⁄_2²
   3. sup _I2 f(x) = 5

   FUNZIONI INVERTIBILI

   f: A → B      e invertibile se è INIETTIVA

   La funzione invertibile ha come codominio il dominio della funzione inversa.

   FUNZIONE INVERSA, SIMMETRIA

   ASPETTO RISPETTO ALLA BISSECTION DEL 1° e 3° QUADRANTE

   CHE RELAZIONE C'È FRA MONOTONIA E INVERTIBILITÀ?

   Se f è STRETTAMENTE MONOTONA ⇒ È INVERTIBILE

   (ma non è vero il viceversa: esistono funzioni invertibili ma non monotone!)

   es:     è invertibile ma non monotona

   DEFINIZIONE DI FUNZIONE INVERSA

   f^-1: B → A      è la funzione tale che f^-1(f(x)) = x   e analogamente   f(f^-1(x)) = x

   TEOREMA DIFFERENZIALE

   f: A ⊆ ℝ → ℝ

   A ≠ ∅

   x₀ ∈ A

   Ip:

   1. f è derivabile in x₀
   2. x₀ è un punto di massimo/minimo relativo

   ⇒ f'(x₀) = 0

   Qui, R(x) = _x→x₀^- lim R(x) ≤ 0 e _x→x₀⁺ lim R(x) ≥ 0

   ⇒ _x→x₀ lim R(x) = 0 ⇒ f'(x₀) = 0

   Se f'(x₀) = 0, x₀ è un PUNTO STAZIONARIO

   N.B.: I massimi e i minimi possono trovare nei punti di lim. bnec. su punti isolati.

   N.B.: Oltre i candidati di essere punti di min/max ci sono i punti di frontiera e giunti dal radice nei derivabilità

   TEOREMA DI ROLLE

   f: A ⊆ ℝ → ℝ

   [a,b] ⊂ A

   Ip:

   1. f ∈ C([a,b])
   2. f è derivabile in (a,b)
   3. f(a) = f(b)

   ⇒ ∃ c ∈ (a,b) : f'(c) = 0

   x ∈ l'Enunciazione di Weierstrass

   ∃ m = min

   e

   ∃ H = max

   è costante

   f(m) = f(H)

   ⇒ H ≠ m

   (Iperboletranic è?)

   ∃ x₀ ∈ (a,b): f'(x₀) = 0

   (numero intero)

   f'(x₂) = 0