Analisi Matematica 1 (parte 5)

Il teorema dei punti di accumulazione

Per il teorema dei punti di accumulazione, abbiamo trovato che l'intersezione è perciò non vuota. In particolare, l'insieme di tutti i punti aderenti ad A si indica con A'.

Definiamo la chiusura di A, indicata con A barra, come l'insieme di tutti i punti aderenti ad A. In altre parole, A barra è l'unione di A e dei suoi punti di accumulazione.

Ad esempio, se A è un insieme aperto, allora A barra è uguale ad A. Se invece A è un insieme chiuso, allora A barra è uguale ad A stesso.

Sia A un insieme aperto. Se x è un punto interno ad A, allora esiste un intorno di x contenuto interamente in A.

Definiamo un insieme aperto A come un insieme che contiene tutti i suoi punti interni. In altre parole, A è aperto se per ogni punto x appartenente ad A, esiste un intorno di x contenuto interamente in A.

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Definizione del limite di una funzione

Siano A e R due insiemi. Se f è una funzione definita su A, possiamo definire il limite di f per x che tende a un valore l in R.

Definizione:

1. Se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che per ogni x in A con 0 < |x - x₀| < δ, si ha |f(x) - l| < ε, allora scriviamo lim f(x) = l per x che tende a x₀.
2. Se per ogni ε > 0 esiste un K > 0 tale che per ogni x in A con x > K, si ha f(x) > K, allora scriviamo lim f(x) = +∞ per x che tende a x₀.
3. Se per ogni ε > 0 esiste un K > 0 tale che per ogni x in A con x > K, si ha f(x) < K, allora scriviamo lim f(x) = -∞ per x che tende a x₀.

Siano A e R due insiemi. Assumiamo che f sia una funzione definita su A. Sia x₀ un punto di accumulazione per A e sia l un numero reale. Possiamo definire il limite di f per x che tende a x₀ come segue:

1. Se lim f(x) = l per x che tende a x₀, allora per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che per ogni x in A con 0 < |x - x₀| < δ, si ha |f(x) - l| < ε.
2. Se lim f(x) = +∞ per x che tende a x₀, allora per ogni ε > 0 esiste un K > 0 tale che per ogni x in A con x > K, si ha f(x) > K.
3. Se lim f(x) = -∞ per x che tende a x₀, allora per ogni ε > 0 esiste un K > 0 tale che per ogni x in A con x > K, si ha f(x) < K.

Siano A e S due insiemi. Assumiamo che f sia una funzione definita su A. Sia x₀ un punto di accumulazione per A e sia l un numero reale. Possiamo definire il limite di f per x che tende a x₀ come segue:

1. Se lim f(x) = l per x che tende a x₀, allora per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che per ogni x in A con 0 < |x - x₀| < δ, si ha |f(x) - l| < ε.
2. Se lim f(x) = +∞ per x che tende a x₀, allora per ogni ε > 0 esiste un K > 0 tale che per ogni x in A con x > K, si ha f(x) > K.
3. Se lim f(x) = -∞ per x che tende a x₀, allora per ogni ε > 0 esiste un K > 0 tale che per ogni x in A con x > K, si ha f(x) < K.

Siano A e S due insiemi. Assumiamo che f sia una funzione definita su A. Sia x₀ un punto di accumulazione per A e sia l un numero reale. Possiamo definire il limite di f per x che tende a x₀ come segue:

1. Se lim f(x) = l per x che tende a x₀, allora per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che per ogni x in A con 0 < |x - x₀| < δ, si ha |f(x) - l| < ε.
2. Se lim f(x) = +∞ per x che tende a x₀, allora per ogni ε > 0 esiste un K > 0 tale che per ogni x in A con x > K, si ha f(x) > K.
3. Se lim f(x) = -∞ per x che tende a x₀, allora per ogni ε > 0 esiste un K > 0 tale che per ogni x in A con x > K, si ha f(x) < K.

chel'intorno 1. selim f (x) = lx!x 0 tale che con .i 8 9 |f 8 2 |x |" > 0 = (") > 0 (x) l| < " x A 0 < x <to sia 0dentro tuttiperche 1 Astia in Gao nonpuòXorichiede chesiNonNOTA esistere nonesistese

2. selim f (x) = +1x!x aha niente0 tale che con .R R Gengdere8 2 9 2 8 2 |x |K = (K) f (x) > K x A 0 < x <0

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Sia .2x D (A)0 extDiremo che è convergente per che tende a quando esiste reale .f x x lim f (x)0 x!x 0Diremo che è divergente per che tende a quando ha limite oppure per er1f x x f (x) +1 x0che tende a .x 0 Iline 0 dso SO otoODX IstFaiceche total foratoIo èJ2 limiteDiamo diora definizionela generaleChiamiamo diIntorno intervallo del tipoa ogniJK TOL KEIRchiameremo intorno diAnalogamente ogniaRKCintervallo del tipo K E0A illimitato SupasupOss stKK R Fà AE è KEALAN JK FAA

ERèesisteperchéConveniamo Ai Ho Adi porreAllora otteniamo TOC E IKERAlto IKDiremo Dex Ache eto seFRE ALo JK tool Enchiameremol di accumulazionetoo puntoESTESO intAse è illimitato AinfAnalogamente oeKLAn IKERO0ALLOPoniamo A VRallora KLFAI E ER0 n 0Dext ADiremo che se0 VRKLFAI E ERo n 0chiameremoe accumulazionedio puntoESTESODi consequenzaAIR DCAADex DCAIRIl EEDex XoAEXO vdAl soprato a noXoDefinizione funzionelimite diAGIRSia A7 Rsia ADexESIA Xo I1Sia E fDiciamo l cheatendeche perx l il fixè limite ditende a che perxo otendeChe a Xoscriveremo e841I F 1Se diintornoI CEdi Xo AikoHeVGHE aPer limiteil di succA IN SPIN TO Vantano1 IRElyan E C formaè delladiIl e EE formTIntomo di dellaèXo ofIhtoHE their Il nelEEano tocINAILFn E HushDANI HODECINIOI eftp.flx efa X DXOefix per D toxEsercizio Rileggere diinternuni intorni nelle 9 definizisul foglioriportatiCosi la 0scelta di dipende daOss oss dall'eventualedipendeftp.JH non 7 sevalore di esistein