Diseguaglianza triangolare
Per ogni coppia di numeri reali (a,b) vale:
- |a+b| ≤ |a| + |b|
- |a| + |b| ≤ |a+b| (|a| − |b| ≤ |a − b|)
Dimostrazione:
- a ≤ |a| b ≤ |b| => a+b ≤ |a| + |b| (i)
−a ≤ |a| −a ≤ |a| −b ≤ |b|
=>(−(a+b) = −a+(−b) ≤ |a| + |b| => −(a+b) ≤ |a| + |b| (ii)
|a+b| = {a+b se a+b > 0−(a+b) se a+b < 0}
Da (i) e (ii) e dalla definizione di valore assoluto, è possibile dedurre che |a+b| ≤ |a| + |b|
- |a| + |b| = a+b+ (−b) ≤ |a+b| + |b| = |a+b| + |b| => |a| − |b| ≤ a+b (iii)
Ma anche |b| ≤ |b+a| +(−a)| ≤ |a+b| + |a| => |b| − |a| ≤ a+b (iv)
Da (iii) e (iv) => |a| − |b| ≤ a+b
Se si sostituisce b con −b: |a| + |b| ≤ |a+(−b)| => |a| − |b| ≤ |a − b|
Disuguaglianza triangolare
Per ogni coppia di numeri reali (a,b) vale:
- |a+b| ≤ |a| + |b|
- |a| + |b| ≤ |a+b|
(|a| - |b| ≤ |a - b|)
Dimostrazione:
1) a ≤ |a| b ≤ |b| => a+b ≤ |a| + |b| (i)
-a ≤ |a| -a ≤ |a| -b ≤ |b|
=> -(a+b) = -a + (-b) ≤ |a| + |b| = > -(a+b) ≤ |a| + |b| (ii)
| a+b | = {
- (a+b) se a+b > 0
- (-a+b) se a+b < 0
Da (i) e (ii) e dalla definizione di valore assoluto, è possibile stabilire che a+b ≤ |a| + |b|
2) |a| = |a+b+(-b)| ≤ |a+b| + |-b| = |a+b| + |b| => |a| - |b| ≤ |a+b| (iii)
Ma anche |b| = |b+a+(-a)| ≤ |a+b| + |a| => |b| - |a| ≤ |a+b| (iv)
Da (iii) e (iv) => |a| - |b| ≤ |a+b|
Se si sostituisce b con -b: |a| + |b| ≤ |a+(-b)| => |a-|-b|| ≤ |a-b|
Proposizione
hps: 1) a,b ∈ R a < b
ch: ∃r ∈ Q a < r < b
Dati due numeri reali a e b, con a < b, ∃r ∈ Q a < r < b.
Dimostrazione:
Senza perdita di generalità supponiamo che 0 < a < b. Fissiamo a,b reali. Sia N un numero naturale tale che N > b-a. Consideriamo i numeri razionali del tipo 0, 1/N, 2/N, ..., N/N. Solo un numero finito di essi risulta essere minore o uguale ad a.
Sia B={i ∈ N: i/N ≤ a}. Sia k=maxB. Allora k/N ≤ a e:
k+1 N > a (k+1)/N < b a < b-a N > 1/(b-a)
Principio di Archimede
Ipotesi:
, ∈ ℝ con , > 0
Tesi:
∃ ∈ ℕ >
Dato due numeri reali positivi e esiste ∈ ℕ >
Dimostrazione:
Fissiamo due reali , > 0
Supponiamo che ≤ , ∀ ∈ ℕ Allora e' un maggiorante per l'insieme A={: ∈ ℕ} Esiste un maggiorante e quindi l'insieme e' limitato superiormente.
Dunque, s=supA e' maggiorante cioe' ≤ ∀ ∈ ℕ ⟹ (+1) ≤ ⟹ ⟹ + ≤ ⟹ ≤ - ∀ ∈ ℕ
Allora - e' un maggiorante per A, Ma ⌀- (perche' a>0) Cio' e' assurdo perche' , in quanto supA, e' il piu' piccolo dei maggioranti di A.
Binomio di Newton
(a+b)n = Σk=0n (n) C(k) an-k bk
Dimostrazione:
Per induzione
Base induttiva
(a+b)1 = Σk=01 (1) C(k) a1-k bk = a+b
Pn ⇒ Pn+1
(a+b)n+1 = (a+b)(a+b)n = [Σk=0n (n) C(k) an-k bk] a + [Σk=0n (n) C(k) an-k bk ] b =
= a [Σk=0n (n) C(k) an-k bk ] + b [Σk=0n (n) C(k) an-k bk ]
= Σk=0n (n) C(k) an+1-k bk + Σk=0n (n) C(k) an-k bk+1
= an+1 + Σk=1n (n) C(k) an+1-k bk + Σk=0n-1 (n) C(k) an-k bk+1 + bn+1
Numero di Nepero
an = (1 + xn)n
Dimostrare che an è monotona crescente => an+1 ≥ an, ∀ n ∈ N
an = (1 + xn)n
= binomio di Newton (a+b)n = n∑k=0(n/k)an-kbk
... = n/1 + ... + n/
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