Analisi matematica 1

Sono appunti riguardanti definizioni e teoremi per Analisi 1, sintetizzano definizioni importanti che il professore chiede all'esame. Teorema punto di accumulazione e altre definizioni che il …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. D'asero Salvatore

Università Università degli Studi di Catania

Publisher grandeantonino

A.A. 2021-2022

62 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

A

6.4. Successioni regolari e successioni limitate.

Per le successioni, in quanto funzioni a valori reali, si applica la nomenclatura intro-

dotta nel numero precedente. Ad esempio, dire che la successione {a } è limitata significa

dire che è limitato l’insieme (sottoinsieme di R) {a : n ∈ N}, cioè che

(6.7) ∃b, c ∈ R : b ≤ a ≤ c ∀n ∈ N .

Non bisogna quindi fare confusione tra i due concetti di “successione limitata” e “succes-

sione dotata di limite”.

I teoremi che seguono mettono a confronto la regolarità di una successione (nei tre

casi: convergenza, divergenza a +∞ e divergenza a −∞) con la sua limitatezza (superiore,

inferiore).

Teorema 6.5. Ogni successione convergente è limitata.

Dimostrazione. Supponiamo che sia lim a = a ∈ R .

n→∞

Dobbiamo dimostrare che vale la (6.7). Dalla definizione di limite abbiamo che, in corri-

spondenza del numero positivo ε = 1, esiste un indice n tale che

(6.8) a − 1 < a < a + 1 ∀n ≥ n ,

dunque i numeri a − 1 e a + 1 sono, rispettivamente, un minorante ed un maggiorante

dell’insieme

(6.9) {a , a , a , . . .} .

n n+1 n+2

n, che abbiamo cosı̀ determinato, è uguale a zero, l’insieme (6.9) coincide con

Se l’indice

il codominio della successione {a } e quindi {a } è limitata. Se, invece, è n ≥ 1, per

n n

dimostrare la validità della (6.7) possiamo prendere

b = min{a − 1, a , . . . , a } , c = max{a + 1, a , . . . , a }

0 0

n−1 n−1

(l’esistenza del minimo e del massimo è assicurata dal fatto che gli insiemi che stiamo

considerando: , . . . , a , . . . , a

B = {a − 1, a } , C = {a + 1, a }

0 0

n−1 n−1

sono insiemi finiti); infatti, con tale scelta di b e c, preso un qualunque n ∈ N, si ha che:

se n < n allora b ≤ a (poichè b = min B e a ∈ B);

n n

se n ≥ n allora b ≤ a − 1 < a (poichè b = min B, a − 1 ∈ B e per la (6.8));

quindi, in ogni caso , b ≤ a ; analogamente si verifica che a ≤ c ∀n ∈ N.

n n

Osservazione 6.2. Il Teorema 6.5 può essere enunciato schematicamente come segue:

{a } è convergente =⇒ {a } è limitata .

n n

Osserviamo che la precedente implicazione non può essere rovesciata, cioè vi sono succes-

sioni che, pur essendo limitate, non sono convergenti. Ad esempio, la successione {(−1) }

è, ovviamente, limitata (−1 e 1 sono, rispettivamente, il minimo ed il massimo della suc-

cessione), ma, come abbiamo già visto (n. 5.2), non è dotata di limite.

Teorema 6.6. Ogni successione divergente positivamente è limitata inferiormente e non

limitata superiormente.

Dimostrazione. Sia {a } una successione divergente positivamente. Dalla definizione di

limite segue che, in corrispondenza del numero positivo k = 1, esiste un indice n tale che

a > 1 ∀n ≥ n ,

dunque 1 è un minorante dell’insieme (6.8). A questo punto, per ottenere un minorante b

dell’intera successione {a }, basta ragionare come nel teorema precedente e prendere b = 1

nel caso in cui n = 0, ovvero }

b = min{1, a , . . . , a

0 n−1

se n ≥ 1. Abbiamo cosı̀ dimostrato che {a } è limitata inferiormente. Per provare che,

invece, la successione {a } non è limitata superiormente basta osservare che, per la defi-

nizione di limite, nessun numero reale a può essere un maggiorante di tale successione (si

tenga presente la (4.1 )).

In maniera del tutto analoga si dimostra il

Teorema 6.7. Ogni successione divergente negativamente è limitata superiormente e non

limitata inferiormente.

Osservazione 6.3. Neanche le implicazioni contenute nei Teoremi 6.6 e 6.7, e cioè, ri-

spettivamente,

{a } è divergente a + ∞ =⇒ {a } è limitata inferiormente ma non superiormente ,

n n

{a } è divergente a − ∞ =⇒ {a } è limitata superiormente ma non inferiormente ,

n n

possono essere invertite. Ad esempio, la successione

(6.10) 0, 1, 0, 2, 0, 3, . . .

ha come codominio tutto N e dunque è limitata inferiormente ma non superiormente; essa

però, come si riconosce immediatamente in base alla definizione di limite, non è divergente

a +∞.

Esercizio 6.6. Provare che la successione (6.10) (e, più in generale, ogni successione che è limitata

inferiormente ma non superiormente e non è divergente a +∞) non ha limite.

Esercizio 6.7. Portare l’esempio di una successione {a } tale che

inf a = −∞ , sup a = +∞ .

n n

n∈N n∈N

Una successione siffatta può essere regolare?

7. Le successioni monotone.

7.1. Successioni monotone.

Poichè le successioni sono delle funzioni reali di variabile reale, tutte le nozioni che

abbiamo introdotto quando abbiamo parlato di funzioni monotone (ricordiamo che si pro-

nunzia “monotòne”) possono essere riferite, in particolare, alle successioni.

Pertanto, dire che la successione {a } è crescente vuol dire che

∀n , n ∈ N, n < n =⇒ a ≤ a

1 2 1 2 n n

1 2

(in particolare, la successione {a } è fortemente crescente se

∀n , n ∈ N, n < n =⇒ a < a ) ;

1 2 1 2 n n

1 2

dire che la successione {a } è decrescente vuol dire che

∀n , n ∈ N, n < n =⇒ a ≥ a

1 2 1 2 n n

1 2

(in particolare, {a } è fortemente decrescente se

n ∀n , n ∈ N, n < n =⇒ a > a ) ;

1 2 1 2 n n

1 2

dire che la successione {a } è monotona vuol dire che essa è crescente oppure decrescente.

Osservazione 7.1. Tutte le condizioni che definiscono i vari tipi di monotonia per le

successioni possono essere formulate, anzichè tramite il confronto tra due qualsiasi termini

della successione, mediante il confronto tra due qualsiasi termini consecutivi. Ad esempio,

nel caso delle successioni crescenti, si ha che la condizione

(7.1) ∀n , n ∈ N, n < n =⇒ a ≤ a

1 2 1 2 n n

1 2

è perfettamente equivalente a

(7.2) a ≤ a ∀n ∈ N .

n n+1

Infatti, se è vera la (7.1), allora, per ogni n ∈ N, essendo n < n + 1, risulta a ≤ a ,

n n+1

dunque è vera la (7.2); viceversa, se è vera la (7.2), allora, per ogni n , n ∈ N, con n < n ,

1 2 1 2

si ha a ≤ a ≤ . . . ≤ a ≤ a ,

n n +1 n −1 n

1 1 2 2

dunque è vera la (7.1).

Osservazione 7.2. Se la successione {a } è crescente, è chiaro che essa è limitata in-

feriormente (infatti a ≤ a ∀n ∈ N, dunque a è un minorante, anzi il minimo, della

0 n 0

successione; invece, {a } può essere limitata superiormente oppure no (ad es., le due

successioni {− } e {n} sono entrambe fortemente crescenti, ma la prima è limitata su-

n+1

periormente, mentre la seconda non lo è). Analogamente, una successione decrescente è

sempre limitata superiormente, anzi dotata di massimo (il primo termine), ma può essere

limitata inferiormente oppure no.

Esercizio 7.1. Portare l’esempio di una successione non monotona.

Esercizio 7.2. Portare l’esempio di una successione {a } avente i seguenti requisiti: 1) {a } è

n n

crescente, 2) {a } non è fortemente crescente e 3) {a } non è limitata superiormente.

n n

7.2. Regolarità delle successioni monotone.

Teorema 7.1. (Il teorema sulle successioni crescenti). Se la successione {a } è crescente,

essa è regolare e risulta lim a = sup a .

n n

n→∞ n∈N

Prima di passare alla dimostrazione, conviene osservare che, in maniera più esplicita,

il Teorema 7.1 può essere enunciato nel modo seguente:

“Supponiamo che la successione {a } sia crescente. Se {a } è limitata superiormente,

n n

allora essa è convergente al numero L = sup a ;

n∈N

se, invece, {a } non è limitata superiormente, allora essa è divergente a +∞.”

Dimostrazione del Teorema 7.1.

1 caso: la successione {a } è limitata superiormente. Dobbiamo dimostrare che si

ha:

(7.3) ∀ε > 0 ∃n ∈ N : L − ε < a < L + ε ∀n ≥ n .

Teniamo presente che il numero L ha le due proprietà caratteristiche dell’estremo superiore:

∗

i) a ≤ L ∀n ∈ N ; ii) ∀ε > 0 ∃n ∈ N : a > L − ε .

∗

n n

Dalla i) segue subito che la disuguaglianza a < L + ε è verificata per ogni n ∈ N; dalla ii)

n ∗

e dal fatto che la successione {a } è crescente otteniamo che per ogni indice n ≥ n risulta

n a ≥ a > L − ε ;

∗

n n

in definitiva, abbiamo che ∗

L − ε < a < L + ε ∀n ≥ n ,

n ∗

dunque, per verificare la (7.3), basta prendere l’indice n in modo che n ≥ n .

2 caso: la successione {a } non è limitata superiormente. Dobbiamo provare che:

(7.4) ∀k > 0 ∃n ∈ N : a > k ∀n ≥ n .

Fissato il numero k > 0, poichè {a } non è limitata superiormente possiamo asserire che il

numero k non è un maggiorante della successione {a }, quindi c’è almeno un termine della

successione, diciamolo a , tale che a > k; tenuto conto che {a } è crescente, otteniamo

∗ ∗

n n n

∗

a ≥ a > k ∀n ≥ n ,

∗

n n ∗

sicchè, per verificare la (7.4), basta prendere un qualunque indice n ≥ n .

La dimostrazione del teorema riguardante le successioni decrescenti è del tutto analoga

ed è lasciata per esercizio allo studente.

Teorema 7.2. (Il teorema sulle successioni decrescenti). Se la successione {a } è decre-

scente, essa è regolare e risulta lim a = inf a .

n n

n→∞ n∈N

Esercizio 7.3. Dimostrare il Teorema 7.2.

I Teoremi 7.1 e 7.2 ci consentono di affermare che:

“Ogni successione monotona è regolare, e, precisamente, è convergente se è limitata,

divergente in caso contrario .”

7.3. Il numero e. +

Cosideriamo la successione (definita in N )

½µ ¶ ¾

1+ .

Si dimostrano (noi omettiamo la dimostrazione) i seguenti fatti:

©¡ ¢ ª

- la successione 1 + è fortemente crescente;

©¡ ¢ ª

n n

- la successione 1 + è limitata superiormente.

Il numero µ ¶

sup 1 + ,

n∈N ¢ ª

©¡ n

1 , si chiama numero

che, per il

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