Analisi matematica 1

Gli assiomi dei numeri reali

• Proprietà delle operazioni:
  • Proprietà associativa (a+b)+c = a+(b+c); (a·b)·c = a·(b·c)
  • Proprietà commutativa a+b = b+a; a·b = b·a
  • Proprietà dissociativa a·(b+c) = a·b + a·c
• Esistenza elementi neutri:
  • Con esistono in IR due numeri detti 0, 1 tali che: a + 0 = a; a·1 = a
• Esistenza degli opposti:
  • Per ogni numero reale esiste un numero reale indicato con -a, detto opposto, tale che: a + (-a) = 0
• Esistenza degli inversi:
  • Per ogni numero reale diverso da zero esiste un numero, indicato con a^-1, tale che: a · a^-1 = 1

Proprietà relative all'ordinamento (≤)

• Riflessiva: a ≤ b; b ≤ a
• Antisimetrca: se valgono a ≤ b e b ≤ a ⇒ a = b
• Transitiva: se a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c
• Compatibilità: se 0 ≤ a e 0 ≤ b ⇒ 0 ≤ a + b; 0 ≤ a·b

Proprietà di completezza

Ci sono 2 insiemi non vuoti (A, B) con la caratteristica che a ≤ b (a elementi di A, b elementi di B) allora esiste c: a ≤ c ≤ b

(≥) gode di proprietà analogo a quello di ≤

• a ≥ b ⇔ b ≤ a

quindi: a ≤ b ⇔ a ≤ b; a ≠ b

a ≥ b ⇔ a ≥ b; a ≠ b

Numeri naturali, interi, razionali

0, 1 ^rispetto ad appartengono a ℝ (insieme dei numeri reali).

N = {1, 2, 3, 4, ..., m, ...} → Numeri naturali

ℤ = {0, ±1, ±2, ...} ⇔ {0} ∪ {±m : m ∈ ℕ} → Numeri interi

+ ... costr. lo degli elementi di ℕ dei loro a quant' è dello 0

ℚ = {m/n | m ∈ ℤ, m ≠ 2, n ≠ 0} → Numeri razionali

⟨m⟩^n

N ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ → onda se non soddisfa tutti gli assiomi dei numeri naturali

• a + (-a) - o → perdi in ℕ non assiamo tutti dei elem. inversi
• a / (-a) → perdi non tuti l'inverso nelle a/Z/>o ale num intriti (anche 1)
• → non soddisfa l'assione di completzza → infini num. dei elem num. irrazionale (e) [vd lec e: I-r:

Funzioni

f: A → B ⎥⎥⎥ f f(1)

▲ogni elemento di A corrispende un ed un solo elemento di B

Si chiama funzione inversa essa fonzione razio a varabile ind.re

|x| = {x ∈ ℝ | x ∈ ℝ₊}

• If x ≥ 0
• -x se x < 0

Disuguaglianza di Bernoulli

Per ogni x ≥ -1 e per ogni m ∈ ℕ_null

(1 + x)^m ≥ 1 + mx

Dimostrazione della Disuguaglianza

Per ogni x≥ -1, detto con A_x: {m ∈ ℕ: (1+x)^m ≥ 1 + mx} e dimostrare che A_x è induttivo.

Per dimostrare che induttivo è vero che 1 ∈ A_x con (1+x) ≥ 1 +x.

Dato ora m ∈ A_x e vediamo se da questa assunzione di onde (m+1) ∈ A_x

(1+x)^m+1 → (1+x)^m(1+x)

quindi → 1 + x + mx + mx² ≥ 1 + (m+1)x

Ora riscontrato q, se m ∈ A allora anche m+1 ∈ A

quindi: ∑xⁱ, i =0 m-1 = 1 - (m+1)x

∑x_i x^m = (1-x) × x^m

→ (1 - x^m)(1+x)^m+1 → (1-x_m) x^m → 1 - x^(m+1)

Cardinalità

• Un insieme A (qualunque) si dice di avere cardinalità finita se esiste un sottoinsieme F ≤ N sufficientemente limitato e una funzione biunivoca f: A ↔ F funzione su limitato.
• Un insieme A (qualunque) si dice avere cardinalità infinita se non esiste un corrispettivo biunivoco e sufficientemente superiore al limite di N. Se un insieme ha cardinalità infinita ogni sottoinsieme di questo insieme ha ancora cardinalità infinita.

Esempio: L'insieme dei numeri pari è un insieme di cardinalità infinita dell'insieme dei numeri naturali. Se due insiemi hanno corrispondenza biunivoca esiste una funzione biunivoca f: A ↔ B allora A, B avranno stesso card.

NOTA: Un insieme A ha cardinalità ℵ (aleph) (uno dei numerabilità) se esiste una corrispondenza biunivoca A ↔ N

Esempio: L'insieme dei numeri naturali ha cardinalità finita se N (con convenzione numerus naturalis)

L'insieme dei numeri pari ha cardinalità ℵ N ↔ N con 2m

Funzioni Lineari

Una funzione con \( m, q \in \mathbb{R} \) prende il nome di funzione lineare

\(\text{(o affine)}: \ l_{m,q}: x \in \mathbb{R} \rightarrow mx + q \in \mathbb{R} \)

\(l_{m,q}(0) = q, \ \ l_{m,q}(1) = m + q\)

quindi: \(l_{m,q}(1) - l_{m,q}(0) = m\)

È iniettiva \(l_{m,q}?\)

\(l_{m,q}(x_1) = l_{m,q}(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\)

È suriettiva?

\(\forall y \in \mathbb{R} \ \exists \) almeno un \( x \in \mathbb{R} \) tale che \( mx + q = y\)

se \( m \neq 0 \ \ \ x = \frac{y - q}{m} \)

\( l_{ \frac{1}{m}, - \frac{q}{m}} \ \ \) inversa di \( l_{m,q} : id_{\mathbb{R}} \)

\(l_{m,q} \cdot l_{ \frac{1}{m}, - \frac{q}{m}} = id_{\mathbb{R}}\)

È crescente