ASINTOTI OBLIQUI
y = mx + q (m ≠ 0)
y = mx + q (m ≠ 0) ⇔ è AS. OBLIQUO SE
- limx → ∞ β(x)x = m,
- limx → ∞ [β(x) - mx ] = q
Esempio
- β(x) = √(x2+1) limx → +∞ √(x2+1)limx → +∞ √(x2+1)limx → +∞ √(x(1 + 1x))
OSS. √32 = 3, √(3)2 = (√3)2 = 3, √(3)2 ≠ -3 !
√(x2 + |x|)
= limx → +∞ |x√ (1 + 1x)|
= limx → +∞ x 1 + 1x
= 1 = m
Asintoti Obliqui
y = mx + q (m ≠ 0)
y = mx + q (m ≠ 0) ⇔ è As. Obliquo se
limx→∞ β(x)/x = m,
limx→∞ [β(x) - mx ] = q
Esempio
- β(x) = √x3+1
limx→+∞ √x3+1
= limx→+∞ √x3(√1 + 1/x3)/x
OSS. √32 = 3, √(-3)2 = √32 = 3, √(3)2 ≠ -3 !
√|x2 - |x| |
= limx→+∞ |x| √1 + 1/x2/x = limx→+∞ x √1 + 1/x2/x = 1 = m ;
limx→+∞ (√(x2+1) - x) = +∞ - ∞
limx→+∞ (√(x2+1) - x)(√(x2+1) + x)
────────────────────────────
√(x2+1) + x
limx→+∞ x2 + 1 - x2
──────────────────────────── - x = 0 = 0
√(x2+1) + x +∞
y = x AS. OBLIQUO x→+∞
successione
m∈N → am∈IR
sequenza de numeri
Notazioni
a0, a1, a2, a3, … am, …
(am), (am) m∈N, {am} , {am} m∈N
tempi
- (m2) 0, 1, 4, 9, …
- (1⁄m) 1⁄1, 1⁄2, 1⁄3, 1⁄4, …
- (m-1)⁄m) 0, 1⁄2, 2⁄3, 3⁄4, …
Limiti di successioni
am ∈ ℝ → (converge a ℓ)
lim am = ±∞ → diverge positivamente o negativamente
(non esiste) → successione irregolare
Proposizione
Sia am una successione e sia
f : ℝ → ℝ una funzione tale che f(m) = am
(m ∈ ℕ)
Allora se il limx → +∞ f(x) = ℓ ∈ ℝ ∪ {±∞} allora
limm → +∞ am = ℓ.
Esempi
- limm → +∞ 1/m = 0
- limm → +∞ m2/m4 = 0
- limm → +∞ cos m = 0 teorema del confronto
- limm → +∞ m2/em = 0
- limm → +∞ m sin(1/m)
sen/n → 1/m limm → +∞ 1/m → 1
Altri limiti notevoli
m! = m(m - 1) ... 2 × 1 (m fattoriale)
- limm → +∞ m/m! = 0
- am mm → +∞
- limm → +∞ am/m! = 0
- limm → +∞ m!/mm = 0
limm→+∞ md ma = -1 (a > 1) (*)
(*) Per esempio
limx→0+ xx = [00]
limx→0+ exlog x = limx→0+ exlog x = elimx→0+ xlog x = e0 = 1
limx→0+ xx log x = [x = 1/t, x→0+ ⇒ t → +∞]
limt→+∞ log t+1/t = limt→+∞ (log t + 1)/t = 0
Quindi
limm
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