Analisi matematica 1

Asintoti obliqui

y = mx + q (m ≠ 0)

y = mx + q (m ≠ 0) e` ò AS. OBLIQUO se:

1. lim_{x → ∞} f(x) / x = m ,
2. lim_{x → ∞} [f(x) - mx] = q

Esempio

1. f(x) = √(x² +1)

lim_{x → +∞} √(x² +1)

lim_{x → +∞} √x²(1 + 1/x²)

OSS. √3² = 3

√(-3)² = √9 = 3

√(3)² = 3

√(x²) = |x|

|x|

= lim_{x → +∞} |x| √(1 + 1/x²) =

lim_{x → +∞} x √(1 + 1/x²) = 1 = m ;

limx→+∞

(√x²+1-x) = +∞

limx→+∞

(√x²+1-x) (√x²+1+x)

x→+∞

√x²+1+x

- = -1 = 0 - 0

y = x AS. OBLIQUO x→+∞

Successione

• m ∈ IN → aₘ ∈ IR

sequence of number

Notazioni

• a₀, a₁, a₂, a₃, ... aₘ...
• (aₘ), (aₘ) m ∈ IN, {aₘ} ∈, {aₘ} m ∈ IN

Esempi

1. (m²) = 0, 1, 4, 9, ...
2. (1/m) 1, 1/2, 1/3, 1/4...
3. (m-1/m) 0, 1/2, 2/3, 3/4...

Esempi

1. f(x) =

   • sen x / x se x ≠ 0
   • 0 se x = 0

   lim_x→0 sen x / x = 1 ≠ 0 = f(0)

   x = 0 p.t. di discontinuità eliminaste

2. f(x) =

   • x / |x| se x ≠ 0
   • 0 se x = 0

   lim_x→0⁺ x / |x| = 1

   lim_x→0⁻ x / |x| = -1

   x = 0 p.t. di discontinuità a salto

3. f(x) =

   • e^1/x se x ≠ 0
   • 0 se x = 0

   lim_x→0⁺ e^1/x = e^+∞ = +∞

   lim_x→0⁻ -e^1/x = e^-∞ = 0 = f(0)

   x = 0 p.t. di discontinuità di seconda specie

- Poiché f è continua in [a, b] se calcoliamo

lim_n→+∞ f(a_n) = β(c) poiché a_n → c allora f(a_n) → β(c)

lim_n→+∞ f(b_n) = β(c)

3- Per il teorema (3) allora posso affermare che

0 ≤ [β(c)]² = β(c) • β(c)

lim_n→+∞ f(a_n) = lim_n→+∞ f(b_n)

lim_n→+∞ [ f(a_n) = f(b_n) ]

Per il teorema di permanenza del segno se f(a_n) - f(b_n) < 0 allora lim_n→+∞ f(a_n) - f(b_n) ≤ 0

0 ≤ [β(c)]² ≤ 0 => β(c) = 0

OSS.

(c {zero di β}) ≡ (c adiacenze β(x) < 0 )

- quindi il teorema può essere equiparato alla ricerca

di soluzioni nelle equazioni del tipo β(x)=0

Δ₃ f(x) = { e^-1/x se x ∈ [-1,0) ∪ (0,1]

        0 se x = 0

Sta perdendo la continuità di questa funzione

f non è continua in [-1, 1];

m = 0 (max e min, f(x) t→0 x→0^- = 0

allora f non ammette in massimo

TEOREMA DI WEIERSTRASS - (in parole povere)

Una funzione è continua se in intervallo chiuso e limitato

ammette un minimo e un massimo assoluti.

• Se valgono le ipotesi vale anche la teoria,
• se le ipotesi non valgono allora il teorema è
• uno strumento che non funziona, cioè non
• bisogna applicarlo

Se tolgo un ipotesi e l'intervallo è semichiuso allora il teorema in generale non vale più.

Def

Sia f definita (a, b) in R e x₀ appartenente ad (a, b).

f : (a, b) → R e x₀ ∈ (a, b)

Diciamo f derivabile in x₀ se esiste finito il limite del rapporto incrementale in x₀. In tal caso il valore f'(x₀) pari al limite del rapporto incrementale si dice DERIVATA di f in x₀.

f'(x₀) = lim_{h → 0} [f(x+h) - f(x₀) ] / h → f'(x₀) = DERIVATA

- Se f è derivabile, la derivata è il tasso di variazione puntuale dei valori di f in x₀.

Variazione punto per punto

* OSS. Se f è derivabile in ogni punto di (a, b), la funzione f' che ad ogni x appartente ad (a, b) associa la derivata di f è detta FUNZIONE DERIVATA di f in (a, b)

f' x ∈ (a, b) → f'(x) ∈ R

- Invece la derivata di in punto è un numero.

- Se la funzione è derivabile in tutti i punti, allora esiste una funzione che associa ad ogni punto il tasso di variazione in quel punto ed è la funzione derivata.

- Leibniz si domandò: "Come definisco la tangente a una curva qualunque?"

Oss. (continuità ≠ derivabilitá)

f(x)=|x|, x₀=0;

• f è continua in x₀=0
• f non è derivabile in x₀=0

^lim_h→0 ^f(x+h)-f(x)/_h = ^lim_h→0 |1h| = ¹/_h se h → 0^{+ -1}/_h se h → 0^-

funzione segno

Il limite destro è diverso dal limite sinistro, quindi il limite non esiste

⟹ non esiste ^lim_h→0 ^f(h)-f(h)/_h cioè f non èderivabile in x₀=0

Algebra delle derivate

Teorema (Algebra delle derivate)

Siano f, g derivabile all'ora:

1. D{f(x)+g(x)}=f'(x)+g'(x);
2. D{f(x)⋅g(x)}=f'(x)⋅g(x)+f(x)⋅g'(x)

In particolare D{c⋅f(x)}=c⋅f'(x)

3. D{^f(x)/_g(x)}= ^{f'(x)⋅g(x)-f(x)⋅g'(x)}/_[g(x)]²

In particolare D{¹/_f(x)}= ^-f'(x)/_[f(x)]² reciproco di una funzione

Dim. 1) D{f(x)+g(x)}=^lim_h→0 ^{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}/_h

^lim_h→0 ^f(x+h)-f(x)/_h + ^g(x+h)-g(x)/_h =f'(x)+g'(x)

DERIVATA DESTRA E SINISTRA E FUNZ DI NON DERIVABILITÀ

f: (a,b) → ℜ x_o ∈ (a,b)

f'_d(x_o) = lim_{h →0}   f(x_o+h) - f(x_o) / h

f'_s(x_o) = lim_{h →0}   f(x_o+h) - f(x_o) / h

Se la derivata destra e sinistra esistono e sono finite e uguali la funzione è derivabile.

Quando una delle due non esiste o è infinita o è finita ma differente, non può essere considerata una funzione derivabile in quel punto.

1) Esempio:

f(x) = √x → f'(x) = 1 / 2√x   (x>0)

f(x) = √x → y = √x ⇔x=y² (parabola)

D_f = [0, +∞)

f_d(0) = lim_{h →0⁺}   f(0+h) - f(0) / h = lim_{h →0⁺} √h / h = lim_{h →0⁺} 1 / √h

= lim_{h →0⁺} h^-1/2 = +∞

⇒ f'_d(0) = +∞

2)

f(x) = | x | ,   D= ℜ

lim_{h →0} f(h) - f(0) / h = lim_{h →0} |h| / h = -1, se h →0^-

= 1, se h →0⁺

⇒ f'_d(0) = 1 ,   f'_s(0) = -1