Appunti di Analisi matematica 2 (terza parte)

FUNZIONI DI DUE VARIABILI

• calcolo differenziale
• calcolo integrale

β: β(x,y) la funzione ha due variabili indipendenti: la x e la y.

Un esempio è la funzione media aritmetica: _x+y/² = β(x,y)

ALCUNE PROPRIETA'

• β(x,y) = β(y,x)
• min f(x,y) < β(x,y) < max f(x,y)
• Se x = y ⇒ β(x,y) = x

Un altro esempio è la media geometrica: β(x,y) = √x . y

Nota: le tre proprietà della media aritmetica ma (x+g) = x . g < x+y/2 poiché xg = (x+y_)/2)²)

Un altro esempio è la media quadratica: β(x,y) = (x² + y²)^1/2 . x²/2 . y²/2

Un altro esempio è la media armonica: β(x,y) = ₁/^{2x + 2y} . ₄/^2y

Sono tutte esempi di funzioni in due variabili; e valgono le proprietà della prima m aritmetica, m geometrica è m armonica è m quadratica.

In realtà esistono infiniti modi di fare la media es: β(x,y) = β(x^p + y_p)^1/p)

Tutte le medie note stanno all'interno di questa famiglia.

ESEMPIO:

(x,y) ⟶ h sul livello del mare della località: (x,h,z) = β(x,z)

carta geografica

DEFINIZIONE

Sia D ⊆ ℝ un sottoinsieme del piano, una funzione β definita in D è una legge che associa ad ogni (x,y) ∈ D uno e un solo numero reale β(x,y), detto valore di β in (x,y).

β: D ⟶ ℝ D = dominio di β

Esempio:

• g(x,y) = x³ + g³ D = R²
• g(x,y) = e^x-y D = R²
• g(x,y) = sup (x,y) D = R²
• g(x,y) = ln(1 - x²) D = dominio naturale

Chi è il dominio naturale di g(x,y) = ln(1 - x²)?

D = { (x,y): -1 < x < 1 }

D = { (x,y): x > 0 }

I rami di iperbole segnano il confine di quello che stò considerando e individuano nel piano tre zone.

Sui rami: xy = 1

Il dominio naturale è la zona tra i due rami di iperbole.

Esempio:

g(x,y) = √(μx² + gβ² - 1)

• D = {(x,y): x ∈ R² | μx² + gβ² - 1 > 0 }

Il dominio è definito da una disuguaglianza in due variabili: μx²+gβ² > 1

μx²+gβ² = 1 → il luogo geometrico è un'ellisse

La zona che stò considerando sta come confine l'ellisse

Il piano viene diviso in due parti dall'ellisse; in generale, in una delle due vale una disuguaglianza e nell'altra vale l'altra disuguaglianza

L'ellisse fa parte del dominio in questo caso

Esempio:

g(x,y) = 1/(1-x-y)

• D = { (x,y) ∈ R² | 1-x-y > 0 }

Il D è il piano ** ** la retta.

ESEMPIO 1

g(x, y) = x² - 2y³ Calcolare le derivate parziali nel punto (x₀, y₀), (1, 1)

g(1+h, 1) g(1, 1+k)

∂g/∂x (1, 1) = lim_h→0 [g(1+h, y₀) - g(1, y₀)]/h = lim_h→0 [g(1+h, 1) - g(1, 1)]/h = lim_h→0 [(1+h)² - 2(1)³ - (1)² + 2(1)³]/h

= lim_h→0 [1 + 2h + h² - 1]/h = lim_h→0 (2 + h) = 2 derivata parziale di g rispetto a x nel punto (1, 1)

∂g/∂y (1, 1) = lim_k→0 [g(x₀, 1+k) - g(x₀, 1)]/k = lim_k→0 [g(1, 1+k) - g(1, 1)]/k = lim_k→0 [1² - 2(1+k)³ - 1² + 2(1)³]/k

= lim_k→0 [-2k³ - 6k² - 6k]/k = lim_k→0 (-2k² - 6k - 6) = -6 derivata parziale di g rispetto a y nel punto (1, 1)

ESEMPIO 2

g(x, y) = x + 6y² In un generico punto

∂g/∂x (x, y) = 1

∂g/∂y (x, y) = 12y

g(x, y) = sin(xy)

∂g/∂x (x, y) = y cos(xy)

∂g/∂y (x, y) = x cos(xy)

La x è compatta come una costante se come pare di un sin(2x) = sin(2) cos(x)

g(x, y) = e^xy

∂g/∂x (x, y) = ye^xy

∂g/∂y (x, y) = xe^xy

g(x, y) = x^x e^x² y e^xy

∂g/∂x (x, y) = x^x e^x² y e^xy = e^xy e^x² x^x 1xy + e^x² = (x^x)

∂g/∂y (x, y) = x^x e^x² e^xy x + 2x^x e^x²

g(x, y) = (x - y²) sin(xy)

∂g/∂x (x, y) = (1 - y²)[cos(xy)y + sin(xy)]

∂g/∂y (x, y) = -2y sin(xy) + cos(xy)[x(1)]

Identificazione dei punti critici di una funzione

La prima cosa da fare per trovare max e min è trovare i punti critici: ∇g(x₀,y₀)=(0,0). E poi vedere se sono max o min, e nel caso risolvere il sistema:

ESEMPIO:

Trovare i punti critici di g(x,y)=x⋅y(4−x²−y²)

Per prima cosa si devono calcolare le derivate parziali: in un punto generico (x,y):

∇g(x,y)=(0,0) diventa un sistema:

Sistema dei punti critici:

Questi 8 punti critici sono sia max/min che non.

Somma di Riemann m-esima di g

Per ogni rettangolo \(R_{ij}\) scelgo un suo punto \(P_{ij}=(x_{ij}, y_{ij})\) e calcolo la funzione in \(P_{ij}\): \(g(x_{ij}, y_{ij})\) e moltiplica per l'area.

Volume prisma = \(g(x_{ij},y_{ij})\) area \(R_{ij}\)

Per trovare l'area del sottografico: \(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} g(x_{ij}, y_{ij}) \cdot \text{area}(R_{ij}) = S_m(g)\)

Teorema

Se \(g\) è continua in \(R\), esiste finito \(\lim_{m,n \to \infty} S_m(g)\) per definizione tale limite è \(\int \int_R g(x,y) \, dx \, dy\)

Formulae di riduzione per il calcolo degli integrali doppi

Sia \(R=[a,b]\times[c,d]\) e sia \(g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\), continua

\(\int_R g(x,y) \, dx \, dy = \int_a^b \left(\int_c^d g(x,y)\, dy \right) dx \quad \text{e} \quad \int_R g(x,y) \, dx \, dy = \int_c^d \left(\int_a^b g(x,y)\, dx \right) dy\)

Esempio

Calcolare \(\int_R (x+y^2) \, dx \, dy, \, R=[0,1] \times [0,1]\)

\(\int_0^1 \left( \int_0^1 (x+y^2) \, dy \right) dx\)

Principio di Cavalieri

Volume \(S\) = \(\int_{z_{\min}}^{z_{\max}} \text{area (S } \cap \{z=t\}) \, dt\)

con le formule di integrazione si usa lo stesso principio

Esempio

∫ f(x,y) dx dy, D = { (x,y) | x + y ≤ 4, |x - y| ≤ 4 }

prendiamo la prima condizione: x + y ≤ 4-4 ≤ x + y ≤ 4prendiamo la seconda condizione: -4 ≤ x - y ≤ 4x - y ≤ 4

Si può fare un cambio di variabile per rettificare il dominioD = { (x,y) | -4 ≤ t ≤ 4, -4 ≤ u ≤ 4 }

x + y = s, x - y = t

Cambio di variabili

x = s ₊ t / 2, y = x _- t / 2s = φ₁(x,t)t = φ₂(x,t)

J Φ(λ,t),⎡ 1/2 1/2 ⎤⎡ 1/2 -1/2 ⎤det(J Φ(λ,t)) = -1/2

∫∫ f(x,y) dx dy =det 1/2 ∫∫ f(s ₊ t / 2, s _- t / 2) ds dt

Passaggio a coordinate polari negli integrali doppi

(x,y)Λ(x,u) → (r, t)(x,t) → (x,y)⎡ x x=cos(t) = φ₁(x,t)⎡ y x=sin(t) = φ ₂(x,t)

J Φ(_x,t),⎡ cos(t) -x sin(t) ⎤⎡ sin(t) x cos(t) ⎤det(J Φ_x,t) = x cos²(t) + x sin²(t) = x

∫∫ f(x,y) dx dy == det J Φ_x,t (f (x cos(t), x sin(t)) x dx dt)

Il passaggio a coordinate polari può convenire se il dominio di integrazione è:area del grafo x cos²(t) + x sin²(t) = x

È suggestivo eseguire D = { x ∈ K | x cos(t) ≤ 0 ^{[0, 2π]}} (x cos(t), x sin) ϵ DD ={(x,t) | -2[3 t]^³ - < π R³}D ={^[0,2π] 0 ≤ t≤ _t(2)}d=xcos(t), x=sin(t), ϕ₂x )

Il dominio di integrazione è diventato un rettangolo, e questo accade sempre.