Analisi 2 (12 crediti)

DEF I VI

[V I

COMPOSTA

dice

si superfice regolare invertibile tale che

semplice

con ,

se = ,

r

... , contorno

(la

GE

1) Tip figura ha

è de

de

UNIONE FINITA semplic

sostegni curve un

un

; comune)

(

&Z

[ 102

12

2) bordo

l distante al

hanno

it de

j più,

componente

se pezzi in

;

, ; ; = ,

,

(

(r Mp

) 7pt Jj

Vi = faccial

faccia esiste

3) bordo altra

> cancida

di che

con ogni

per un con

pezzo

= un

q a

, (se

Mi totale)

10 0 Mi si

po cancidenza

c'è

itje

4) lungo

al

allora più

intersecano non

gli estremi

con

se p

, "libro")

(

a

Mip it]

5) coincide altro

più

al UN SOLO sostegno no

sostegno coso

cascun =

con

con (E/P)1V

VER doppio")

(no

FPEZ

6) P

7 d "cono

de +c e

intorno

qualche sostegno connesso

estremo como

, SUE

PER

ORIENTAZIONE OGNUNA DELLE

orientazione scelta

5) d

dece de

comporta

superficie una

una si

l'orientazione ELIDA

COMPONENTI tale sui

che componente

indotta due

tra

comune

sostegni in

CI

DEF si dice tratte

regolare a se

& è limitata

misurabile e

② al è superficie comporta

una Gon F

+ ds ///div

allora

F z)[ (e)

Ci (X (F)

13 Faxoly dz

Y

IN Siano tratte

DIVERGENZA regolare

TH a = =

,

, ,

ne=

Zz

divF Xx Yy

dove normale esterna

+

+ e

= -xR3

/CI35(x

LEMMA (fx +z)

-IR :

Uf

f

z) +y

Sua grad

+:

la funzione scolare Y me = =

, ,

, ,

S -IR3

c)

6(A

(X Xy)

(zy

z) U 1 F

B

F rot F

1

i Y -R Yz

Sano Yx

Xz Zx

:

= :

2

campi = = - - -

, ,

,

, ,

, ,

6) - IR

0 Ax By

<

div G Cz

tel -

:

+

=

(1)

⑦ +

=

0

Vf

allora rot ,

se =

(1)

FE22

② 0

allora F

div rot

se =

FECo(1) (SCALARE) se 7fel"

① (2) F

RICORDO Vf

ammette tc

potenziale =

(SCALARE)

Fammette costanti

& allora e definito de

potenziale questo

ee a meno

FER"(2) IRROTAZIONALE

③ 0

rotF

si dice se =

FEl"(e)

9 CONSERVATIVO irrotazionale

allora e

è

se

Pancare

⑤

DEF ①GE2o(1) FEC(2) G

ammette F

rot

esiste

potenziale tall che

vettoriale =

se

un

② 0)

(perche

F

Se G

potenziale Uf

de Vf

F

l'

è vettore allora lo rot

anche + =

,

Gel (1)

③ 0

G

SOLENDIDALE

si dece dir =

se

LEMMA Gz2(R)

Q Se ammette potenziale vettore rolenadale

allora è

un ,

POINCARE

LEMMA 2 O

DI E l'

(A (2)

C)

Se Gammette

è

G B allora

solenadale l localmente

aperto

= con ,

, , , l

potenziale è

globalmente convesso

vettore

un se

e curviunei

STOKES)

(0 de

Collegamento integrale superfice

ROTORE

TEOREMA DEL DI ->

-

IR CR2 Y)[(2)

THROTORE (X

IN Sia l F allora

trath

regolare a e sa = , ,

Prox

Pu(F

1) 12

T) Yoy Yx

ds

rotF dxdy Xy

dove rotF

+ =

in

= = -

, , Yz) 2 (2)

IR3 Z (X

Sa

TH ROTORE IN F allora

superficie invertibil orientazione ma

n

con =

, , ,

(x

GzF

1) dS T)ds

(rotF n) Ydy +

= = +

,

,

z

I 1

rotF CIRCUITAZIONE

CAMPO

OSSERVO lo 22 soludo

(X z)

Sia F de

de

y intorno

classe

campo un ;

in un

un

= , , )

OrotF ne)

del 0 rotF a

superfici composta Allora

orientazione usante

na con =

= ,

.

↑ FRONTIERA ORDINARIE

DIFFERENZIALI

EQUAZIONI UNICITÀ

ESISTENZA PER PROBLEMA

E IL DI CAUCHY

DEF z)(x)

/CIXIR" u(

+(x

IR u(x)

+ m(x)

ri

Data forma

dice de esplicita M(x)

differenziale ordine

: >

- equazione in

n : = ...,

,

,

,

!

PROBLEMA l'insieme

CAUCHY

DI

5) once &

. 1)(x)

u(n)(x) m(n differenzial

f(x m(x) eg

-

= .

....,

,

u(X0) Mo

= iniziali

condizioni

↑

i c) (x)

u( Mn-1)

(Xo

- E c

Mn Mo

con

= 1 ...,

,

,

-

PEANO de esistenza della

TH locale soluzione &"

(1)

o

fe2

Se SOLUZIONE classe

il Cauchy d

allora Ammette UNA

corrispondente de

problema un

in

,

on

Intorno Xo

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA

S MozeCI(X

u(x)) I

f(x

n(x) y))

+: (0 y) (1

Sia y)

F(x 7 (x

el vettoriale

>

- e sa campo

= =

,

, , , , , .

u(Xo) Mo

=

La Molte

(Xo

FUNZIONE

Cauchy cui

è

del M(x) il ed

de assegnato

el

problema punto e

grafico

soluzione passa

una per ,

y)

F(x

tangente al

punto campo

suo

ogni

in ,

DEF 4 R

ICR- (localmente) LIPSCHITZIANA KCI Lk0 che

esiste

si tale

once

>

: compatto

ogni

se per

14(x1) 4(X)/Lk(X1-Xo) XeK

Xo

- ogni

per ,

Valgono ①4 Y

Lipschitz I

continua

> in

: ②YeR(1) Lipschitz

>

CI-IR

Data Lk0 che

esiste

KCI

F tale

: f(x y) Lipochitziana

si dice rispetto compatto

per

a y ogni

se

,

,

If y0)) 19130)

f(x (k

y1)

(x 31)

30) Ek

(x

(x

= per ogns

-

, , ,

, ,

fe[o() %

)

Fyt2

Se f rispetto

Lipschitz

allora e y

a

e ,

UNICITÀ

TH ESISTENZA LOCALE

DI PROBLEMA

E PER CAUCHY

IL DI

CIR2

(1)

te2° d)

(4

b)

(a

Sia &Lipschitziana

~ limitato

eventualmente sia rispetto

x y

e

con a

,

= ,

, , S

F(Xo u(x)

f(x

Mo) u(x)

Allora eviste Cauchy

l

- UN del

UNICA SOLUZIONE

- problema on = ,

, u(X) Mo

2 =

de

classe

de

con intorno Xo

un

in

u . (ab) c(9 b)

Questa ad

si cui la

masmal

soluzione soluzione

estendere fino definita

soluzione

può una in rimane

,

+(

S u(x))) f(t

f(x (t))dt

RIFORMULAZIONE u(x)

INTEGRALE M(x)

· M

Mo

= =

>

,

u(X) Mo

=

UNICITÀ

TH ESISTENZA GLOBALE

DI E CAUCHY

PROBLEMA

PER DI

IL

CIR2 (a

Sia x1

b)

+ (Xo Molte R - tale che

<

: e

con :

=

, ,

(r)

①fc2 °

② Lipschitz rispetto y

a he20(

y))

(f(x b)

131)

=h(x)(1

③ dove *,

+

, S nel l Il

u(x)

f

u

Allora Cauchy

eriste UN del

UNICA SOLUZIONE o

problema con

= , #derivate)

(Hordine

PRIM'ORDINE SEPARATE

DIFFERENZIALI

EQ VARIABILI

DEL A =

.

DEF si

u(x)

+(X g(x) h(y) h

y)

n(x) f(x

set

dece nella

si

variabile continue

reparate può forma

scrivere

a g

con

= .

=

,

, , .

%I) fe2°([x])

@ge2

Se I Lipschitz

allora

IPOTESI intervallo

valgono

e g

in

con e

② JCI

h intervallo

Lipschitz J

in con

Th potesi eQ

sotto le esistenza LOCALE

el de al problema

unicità

ed

teorema de

può Cauchy

applicato

essere

S h(u(x) XI

definito ri(x) g(x)

come = .

: M(Xo) MoEJ

Mo

=

Que

SOLUZIONE h(r) FxI

=O SOLUZIONE

la

Mx)

allora Cauchy

problema

al de

è

: Mo

=

& ri(Xo)

h(r) * g()

Le

Separo dividendo h:nu(x))

allora Variabili

O integro

se per poi

= ,

F1(3) 1

G(x)

siano de

g(x) primitiva

primitiva on

una una

; h(y) FE INVERTIBILE

+Q

(Fu] G(x) Fu Fi(

i

allora g(x) u

= = =

<

= ↑ I

C

DALLE

DATA . .

PRIM'ORDINE

DIFFERENZIALI

EQ DEL

LINEARI L

. -

DEF (IXIR)

be[o(I) ·

b(x) 2

u(x)

l'equazione (NH) a(x) b(x)

Sia +(x

m'(x) y) -

a(x)

NON OMOGENEA ara

a y

+ +

con

= =

. .

, ,

,

ipotesi esistenza

Lipschitz th

del Cauchy

allora de

problema

le

valgono unicità el

+ de

è y

se in per

e

(x)m(x)(xb(x) 0)

G l'EQ

SOLUZIONE (H)n(x)

OMOGENEA

DIFF ASSOCIATA

considero

: =

=

.

.

quindi y) h(y)

f(x a(x) g(x) variabili

eq diff

e'

y separate

=

= un A

-

.

, .

⑪ e

u(x) la soluzione

0 allora 0

se Mo = = *

(et() R1903

S =(a(x)) (a(x)dx

⑫ (n(u(x)) (c)u(t)

ri(x) conc te

A(x)

allora

Moto +

se =

: =

=

=

>

u(x)

(et() CEIR si generale

allora u(t) duce soluzione

2 = , c(x)eA(x)

& (NH)

METODO

el DELLA

VARIAZIONE COSTANTE u(x)

del

DI tepo

oh

soluzione

con cerco una =

c(x)a(x))21(x)

c(x)A'(x)ef(x)

c'(x)et(x)

[c(x)et(x))) (c(x)

m(x) + +

= =

= c(x)a(x))et()

(c'(x) u(x)

a(x)

(NH) b(x)

sostituisco +

in + =

: - c'(x)et(x) (x)

(xa(x)et(x) ((x)et(x) -

b(x)c(((x)

(c'(x) b(x)e

b(x)c >

+ =

+ =

= A(x)dx

etox

/b(x) er()(b(x)e

<(x)et() -

(NH)

((x) u(t)

le

allora on

soluzion

e e sono

= = =

PRIM'ORDINE

DEL

SISTEMI

DEF /CIRXIR" EXIRV

IR Yn)

(x

Sia f considero diff ordine

or

>

-

: con %o n

eg

, .... ,

. .

.

I c)(x)

u(m)(x) u(n

f(x vi(x) *

u(x) -

= , ....,

,

M(X0) I

10

= Mn-ERR

(Mo

I

C