Appunti esame Analisi matematica 1 - Parte 2 (12 crediti)

P* P’, P’’

usando infatti la definizione di raffinamento troviamo che //

⊂

P) P P) P

Dato un H { S(, : } e un K { s(, : }, notiamo che H ≥ K poichè se H,K allora H e K,

ℝ

∈ ∈ ∈ ∀a ∈ ∀b ∈

anche a ≥ b poichè: inf(a) = inf(H) ≥ sup(b) = sup(K)

P) P P) P

Dato un H { S(, : } e un K { s(, : }, se è Riemannintegrabile, o in altre parole integrabile, allora:

∈ ∈

∃P’ /2 /2

sup K = s = S = inf H, poichè parliamo di sup e inf possiamo, date le definizioni, ammettere l’esistenza di un intorno

di raggio > 0 : s(P’) > sup K - e : S(P’’) < inf H + , che a sua volta può essere scritto come:

∃(P’’)

a b

_

_

_ _

_

> 0 H a < inf H + = sup K > 0 K b > sup K - = a

∀ ∈ ∀ ∈ _

da questa definizione però troviamo che = sup K - a, che è

assurdo

Definizione di Integrabilità pag 479

) )

Se s = sup(s(P), P = inf (S(P), P = S si dice che la funzione è integrabile secondo Riemman nell’intervallo

∈ ∈

[a,b] e il valore comune s = S si dirà integrale definito di in [a,b] e si indicherà con:

indica perciò un numero che può essere anche nullo

ℝ,

∈

Per poter definire la prossima funzione abbiamo bisogno di conoscere la seguente proprietà:

(x)

Integrabilità di una pag 480

Una funzione limitata : [a,b] è Riemman integrabile solo se > 0 esiste una partizione P* di [a,b], ovvero la

ℝ

⟶ ∀

partizione che comprende tutto l’intervallo, tale che S(P*) - s(P*) <

∀ ∃P* ∈

([a,b]) > 0 possiamo anche affermare secondo la proprietà sopra che 0 ≤ S(P*) - s(P*) <

∈

data la definizione di integrale possiamo anche affermare che s() = S() = allora:

∀ ∃P’ ∈ ∃P’’

> 0 s(, P’) > - allora S(, P’’) < + poichè se s() = S() è ovvio che

∈ P*

aggiungendo o togliendo una quantità la loro uguaglianza cambia, definiamo ora :

∪

P* P’ P’’

= allora P*)

s(, ≥ s(, P’) > - P*)

s(, - S(, P*) <

P*)

S(, ≤ S(, P’’) < +

Continuità e monotonia con gli integrali pag 481

(x) continua monotona

Una funzione si dice integrabile in [a,b] se essa è: e/o

⟶ [a,b]

Data una monotona e crescente in [a,b]

(b) (a) ∈

(b) (a)

> |P*| < ___________

∀ |P*| = max | |

-

P*) P*)

S(, - s(, =

[a,b] [a,b] ∃ ∀x,y ⟶ (x) (y)

se > 0 > 0 > 0, [a,b], |x-y| < - <

∈ ⟶ ∈ ∀ ∈

P* = max |I | <

<

dove in questo caso è

Proprietà degli integrali pag 483

([a,b])

Sia una funzione integrabile:

)

)

)

) inf

imostrazione

& poichè P’’ = P’ U { r } abbiamo considerato P’’ come un

P’) P’) P’’) P’’)

S(, - s(, < e S(, - s(, < r r

raffinamento di P’ e r

P’’) P’’) P’{a,r})

S(, - s(, = S( , + S( , P’’{r,b}) - s( , P’{a,r}) + s( , P’’{r,b}) //

r r [a,r] [r,b]

[r,b] [a,r]

) )

Nel caso della troviamo che è vero anche per il contrario ovvero

è verificata sia se abbiamo ≥ che ≤

NE

IMOSTIZAXIo

↓

(x) (x)

- [a,b]

∈

)

Dimostrazione ₊ ₋

= max (0,) ≥ 0 = min (0,) = max (0, -) ≥ 0

Parte positiva di una funzione

N (x) ₊(x) ₋(x)

= -

~ (x) ₊(x) ₋(x)

↑ | | = +

↑

↑

:

↑ (x)

-

I ↑

↑ il - perchè abbiamo bisogno della parte negativa di

↑

- S

↑

~ negativizzata così da poter ottenere una parte positiva e

# in completare il valore della funzione, poichè stiamo parlando

di aree

(x) (x) (x)

- | | ≤ ≤ | | è uguale a dire pertanto possiamo affermare:

Teorema della media integrale pag 488

∃c

Sia : [a,b] una funzione continua, [a,b] tale che

ℝ

⟶ ∈ m = min

max = max m (x) M ∀c

Poichè parliamo di funzioni continue possiamo affermare per il teorema di Weierstrass che esiste un e un

di conseguenza ≤ ≤ [a,b], date inoltre le proprietà precendenti degli integrali ():

∈

pertanto:

sfruttiamo ora il teorema dei valori intermedi:

∃c [a,b]

∈

Altre proprietà degli integrali pag 489

(x)

Data una funzione [a,b] e = la funzione di secondo estemo integrale, x, viene chiamata funzione

∈

integrale, si può prendere un qualsiasi estremo c [a,b] e notiamo come la funzione integrale differisce solo di una

∃M ∀x

∈

costante, deve essere sempre limitata > 0 : [a,b] |(x)| ≤ M

⟶ ∈

Da ciò possiamo affermare anche le seguenti proprietà:

[a,b]

1) è continua ∈

2) Teorema della derivata della funzione integrale

continua

f

Dimostrazione (x) (x₀)

Consideriamo la differenza tra la e in valore assoluto, possiamo affermare che la funzione ≠ e che

(x)

rappresenti l’integrale di tra a e x, grazie alla 4a proprietà degli integrali possiamo dividere l’area di tra a e b in

x₀ x₀ x

2 aree, in questo caso scegliamo il punto semplifichiamo e troviamo il valore assoluto dell’integrale di a

DIMOSTRAZIONE DERINATA

TERREMA [a,b] ¹[a,b] (x) ’(x) (x)

DELLA

DELLA FUNZIONE INTEGRALE

Questo teorema afferma che data una sapendo che = pertanto =

∈ ⟶ ∈

Supponiamo x > x₀ con x₀ ≠ b

L’ultima uguaglianza è verificata dal teorema della media integrale guardando la definizione notiamo che:

teorema dei 2 carabinieri:

x₀ ≤ c(x) ≤ x pertanto applicando un limite possiamo usare il

Avendo presupposto che x > x₀ dobbiamo pertanto calcolarci il limite destro:

Possiamo portare fuori la poichè essa è costante, e grazie al teorema dei 2 carabinieri possiamo finire il passaggio

Primitive pag 490 con Φ intediamo una funzione qualsiasi

[a,b] (x) (x),

(x)

primitiva

Sia : [a,b] data una funzione Φ e derivabile in ]a,b[ essa è una di se Φ’(x) = ]a,b[

ℝ,

⟶ ∈ ∀x ∈

possiamo affermare pertanto che una primitiva è la funzione che derivata da come risultato la funzione

Proprietà delle primitive pag 491

) ,

Se Φ è una primitiva di allora anche Φ + c, dove per c intendiamo una costante, è una primitiva di pertanto ogni

ha infinite primitive che differiscono di una costante

(x)

IMOSTRAZIONE

U

Φ’(x) = (Φ(x) + c)’= Φ’(x) = //

) ∃c ⟶ _

_

Se Φ e G sono 2 primitive di in [a,b] allora G = Φ + c

e

(x) (x)

D(x) = G(x) - Φ(x) si ha che D C[a,b] è derivabile in ]a,b[ e D’(x) = G’(x) - Φ’(x) = - = 0

∈

L’ultimo passaggio è possibile grazie al teorema di Lagrange, secondo il quale esiste un c tale che G(x) - Φ(x) = c

pertanto G(x) = Φ(x) + c

)

Data la prima e seconda definizioni allora possiamo affermare che ogni primitiva di sia un Φ + c, al variare

di c ℝ

∈

Tabella primitive pag 492

Teorema fondamentale del calcolo integrale pag 494

[a,b],

Sia allora

∈ (x) (x),

Consideriamo Φ(x) e come 2 primitive di troviamo ora Φ(a) e Φ(b): Φ(b) posso trovarla prendendo per

vera la tesi

pertanto

Integrazione per parti pag 499

, , ’ [a,b] :

Sia funzioni e Φ una primitiva di

L'uguaglianza, è tra due famiglie di funzioni, A e B: le funzioni appartenenti a ciascuna di esse differiscono per

una costante. Basta quindi dimostrare che una generica funzione della famiglia A ha la stessa derivata di una

(x)﹒(x);

generica funzione della famiglia B. Per definizione di integrale indefinito la derivata di una funzione in A è

(x)

derivando una funzione di B si ottiene

﹒’(x) ﹒’(x) ﹒g(x)

- Φ(x) = Φ’(x)﹒(x) =

Φ’(x)﹒(x) + Φ(x)

Le derivate sono uguali //

Integrali di funzioni razionali pag 510

Dato un integrale di questo tipo in base al grado del numeratore e del denominatore possiamo

risolverlo in 2 modi:

1) Se N(x) è di grado maggiore di D(x) allora possiamo scrivere che:

Q(x) è il polinomio quoziente, mentre R(x) è il polinomio del resto

dove

2) Se invece N(x) è di grado minore di D(x) allora ci sono 3 casi possibili:

in questo caso avremmo sempre un integrale

fondamentale

∆

Nel caso 2.B invece verifichiamo che il sia negativo pertanto C² - 4BD < Δ

Nel punto 2.C dobbiamo invece fattorizzare l’espressione ed in base ai risultati ottenuti associare la corrispondente:

Fattorizzazione Associamo

Fatto ciò non ci resta che integrare i fratti semplici ottenuti, sono degli integrali elementari di facile risoluzione

Integrali impropri o integrali in senso pag 533

generalizzato

Ricapitolando le condizioni di esistenza di un integrale proprio:

• la zona di integrazione deve essere limitata

• la funzione da integrare è limitata integrale improprio o generalizzato

Quando una di queste condizioni viene a mancare, o entrambe parliamo di

ε

Pertanto agli estermi di integrazione, aggiungiamo o togliamo un certo che ci permette di poter avvicinarci al limite

della porzione della funzione da osservare

pertanto, dobbiamo calcolare il limite di ε che tende a 0⁺ se lo applico al punto b mentre a 0⁻ se lo applico al punto a

graficamente parlando: (x) (x) converge

in entrambi i casi se il limite esiste ed è finito la è integrabile