Appunti esame Analisi matematica 1 - Parte 1 (12 crediti)

A

è 1

Cos y sinx

14

=o

per Carabinieri

e

Teorema del

X S Gu -

=

+

a

= = 0

=

sin =

x

Tabella per risolvere i limiti con gli ordini

Equivalenza

Funzione x

sin x

1 -cos x x² / 2

x

tan x

arcsin x x

x

arctan x x

ln (1 + x)

x x ln a

a - 1

⋅

x

- 1 x

a

(1 + x) - 1 ax

_____

√ 1 + x - 1 x / n

1- cosh x x² / 2

x

sinh x x

tanh x

Teorema del limite delle funzioni composte pag 279

pag 280

Dobbiamo presupporre che g(x) sia continua nel punto . Se anche la f(x) risulta continua in possiamo affermare

che anche la sua composta sia continua in per le proprietà dei limiti.

Limiti per funzioni reali di più variabili reali pag. 282

valore assoluto

Premessa: ricordiamo che la norma in è il se n = 1

ℝⁿ

Pertanto se una n n ≥ 2 non possiamo più applicare il concetto di valore assoluto, in questo paragrafo si tratta di

ℝ

∈ ∧

funzioni con n ≥ 2

Considerato che siamo in n ≥ 2 non ha più senso parlare di limiti unilaterali poichè ci muoviamo in più direzioni.

(∞):

0⁻ perdono di significato, viene quindi fornita una nuova definizione di

Ergo x ±∞ e x 0⁺ o x 0

(∞) = { : || - || > K, K

ℝⁿ ℝ⁺}

∈ ∈

K 0,

Dice che l’intorno di un infinito K è una x che appartiene ai reali n tale che la norma di x - dove 0 indica l’origine,

distanza,

x - 0 la sia maggiore di K e K appartiene ai reali n

Riscriviamo ora la definizione di limite considerando ℝⁿ

₀ ₀₂, ₀

: (A ) dato un punto di accumulazione = (₀₁, .., ) per A

ℝⁿ ℝ n

₀ (x)

⊆ ⟶

Si dice limite per tendente a di è

, (), ₀ , (x₀ , ) ⟹∀ ∈ (₀ , ) ∩ \ {₀} () ∈ ()

Fissato un intorno esiste un intorno A si ha che

Teorema dei limiti dei sottoinsiemi pag 284

Questo teorema serve per dimostrare la non esistenza dei limiti in determinati insiemi

₀ ₀

: (X ) DX possiamo ora indicare con X* un qualsiasi sottoinsieme di X, tale che sia un punto

ℝⁿ ℝ

⊆ ⟶ ∈

di accumulazione per X

Perciò X* = (X* X) (₀ DX*)

⊆ ∧ ∈

i) pertante

rif (x)

.

Nel primo punto diciamo che il limite di una che tende ad un punto di accumulazione (₀) di una è uguale a ∞

o ad un numero finito ℓ, che indichiamo ancora con

₀, (x)

Nel secondo punto invece diciamo che per ogni X*, ovvero il sottoinsieme di X che ha come punto di accumulazione

otteniamo il limite della su X* uguale a

DIMOSTRAZIONE #e 1/40

(4) 5) n

Esco

significa che

il albua =

Dato ,

, 24a]

Il

fixs

linte e

definizione di

perciò per *

Poche

~ Gy

*

iil

Data perché

è 24

invece avvia f(x)

Im in f Bot

Y =

= wa

*

-

4 xo S limite non esiste,

Questo teorema ci permette di affermare che un semplicemente trovando 2 sottoinsiemi di un

insieme X tali che: I

frxy

fine

#Im

im =>

X

Successioni Definizione di successione

pag 288

Una successione si indica con a e sono definite negli insiemi dei numeri naturali e dei numeri reali.

n

Vengono definite come una sequenza ordinata di numeri reali con termini che si possono ripetere

∃ ∀n illimitata

N.B. una successione si dice se tende a

Limitata inferiormente: se a ≥

ℝ ℝ

∈ ⟹ ∈

∃ ∀n

n ±∞ ovvero:

∃ ∀n

Limitata superiormente: se a ≤

ℝ ℝ

∃ , ∀n

∈ ⟹ ∈

n ∃ ∀n

a

ℝ ℝ

∈ ⟹ ≥ ∈

n

Limitata: se a ≤

ℝ ℝ

∈ ⟹ ≤ ∈ a ≥

ℝ ℝ

n ∈ ⟹ ∈

n

crescente:

Monotona a ≤ a decrescente:

Monotona a ≥ a n+1

n+1

n n

crescente:

Monotona strettamente a < a decrescente:

Monotona strettamente a > a n+1

n

n+1

n

crescenti decrescenti

possiamo dire che le funzioni convergano a sup {a , n } mentre a inf {a , n }

ℕ ℕ

∈ ∈

n n

∀n definitivamente

una successione a possiede o acquista una certa proprietà se esiste N a soddisfa quella

ℕ

∈ ⟹ n

n

proprietà ≥ N la

Ex En

3 i

1

3 &

3j an-en-e

successione

i

an 2n

= -

-

- ...

#

11

n 1

1 2n

=

1 = =

2

= definitivamente

è positiva

convergente:

una successione può essere

im Ema

Nata

ant e an lan-1 E

*

nama

se :

,

2

n 00

+

-

divergente:

oppure

In Gua

YMrO and M

arefoo to 12

se :

an

e mg*

,

-

1 00 ↑

In

indeterminata se il limite non esiste an

Teorema del confronto per successioni / Youmath

Teorema dei 2 carabinieri per successioni ∀n

Date le seguenti successioni tali che (a ) ≤ (b ) ≤ (c )

ℝ, ℕ

∈ ∈

n n n

Supponiamo che:

Teorema della permanenza del segno applicato alle successioni Youmath

pag 292

,

abbiamo dimostrato come il segno di una con limite ≠ 0 sia concorde con il segno del limite

Successioni infinitesime pag 292 ⟶

considerato un lim a = 0 si dice infinitesima se a 0

n

n

n⟶∞

Sottosuccessioni pag 293

Un sottosuccessione è semplicemente un successione di una successione, dove k sono i valori di n che

compongono la sottosuccessione, che a sua volta viene considerata come una successione

∃k* ∈ ()

Data una sottosuccessione a di a poichè n è monotona, : n* > m da ciò affermiamo che a //

n

n k

n k

k

Limiti noti delle successioni

Sia a consideriamo la successione (aⁿ) :

ℝ,

∈ ⟶ +∞ ⟶1 ⟶ ⟶ ∞

n

se a > 1 se a = 1 se a = -1 N/D se a <-1

se -1< a < 1⟶ 0

⟶

/

/ -1 n

1 n

se invece a allora a e a 1

ℝ⁺

∈

poichè le dimostrazioni non sono nulla di impossibile verrà dimostrato solo il primo caso

Teorema ponte Youmath

pag 296

(x) (x

Se la funzione ha lim = ℓ , possiamo considerare una successione x per la quale lim ) = ℓ se e solo per ogni

⟶ ₀ n ⟶ ∞ n

n

successione di x x₀ D e x ≠ x₀

⟶ ∈

n n

Questo è possibile dimostrarlo anche logicamente poiché se consideriamo la x come un punto, una successione è

semplicemente una serie di punti ordinati tra loro che seguono uno schema, pertanto è di facile intuizione che esiste

finito ∞,

un punto x appartenente alla successione, il cui limite sia un valore o che sia molto simile ad un punto della

successione a , questo punto sia y, e dato un N dopo il quale la funzione assume definitivamente un limite, ovvero

(x,)

n

tutte le n > N hanno certamente una determinata proprietà, possiamo considerare min(n > N) con n ∈

Teorema Bolzano - Weierstrass pag 298

Data una successione (a ) se essa è limitata convergente in ℓ, allora ℓ viene considerato punto di aderenza se la

ℝ,

∈

n n

sottosuccessione (a ) converge in ℓ

n k se esiste una sottosuccessione che

converge in quel valore

https://www.youtube.com/watch?v=B-7NwxNOIuM

Cosideriamo una successione limitata a n monotona

possiamo creare la successione notiamo come sia una successione

decrescente, poichè il sup di un qualsiasi insieme è ≤ di qualsiasi sup del suo sottoinsieme, essendo s il sup di a

n n

teorema di esistenza del limite delle successioni monotone

possiamo dire che per il la successione s ammette limite

n

pertanto essa converge, affermando che s converge ad equivale ad affermare che

n

dove e per ogni estremo superiore vale la seguente proprietà:

sup,

ovvero tolto un qualsiasi ε da un estremo superiore, ovvero di un intorno esiste sempre un valore x che sia

maggiore di questa differenza, in questo caso si traduce con Su

Sn-E &

⑧

& ⑧ ⑧

-

h

l l E

+

E

- Il

∀n ℕ

⟶ ∀n ℕ ⟶

N.B. data un insieme A A ≠ dato = sup A e sia = inf A, allora esiste una successione y che

ℝ, ℝ

⊂ ∅, ∈ ⟹ ∈

n

y allora esiste una successione t A, t

⟹ , ∈ ∈ ⟹

n n

n

Teorema di Cauchy pag 291 Youmath

(x) (x), ,

Data una e una definite e continue in [a,b], derivabili su [a,b], (a,b) [(b)-(a)]⋅’(x)=[(b)-(a)]⋅’(x)

∃x ∈ ⟹

Questo è vero se e solo se [a,b] è contenuto nel Dominio di e gli eventuali punti di discontinuità sono fuori dal

[a,b] mentre devono essere derivabili in (a,b), se i punti di non derivabilità si trovano su a o b va bene lo stesso

i)

Applichiamolo ora ad una successione, notiamo che a :

n

ii) ∃ ∃p* ∀m,n

a converge

n > 0 : > p* si ha |a - a | <

m

n

Dimostrazione Epi

I fissiano %8,

lan-1/

1 stessa

la

ripetiamo

ha

Ero nap

: si cosa

an con

,

,

. di

e

am invece Usiamo

pr, Pe

Allora =maxp.p *:

prendiamo * rimup

per

p 5 5

lan-anlan- +

+ am-e

/ -lan-anks

& 2

-

E

Moltiplicazione tra infinitesimi e limitati pag 292

⟶ ⟶ infinitesimo infinitesimo

se a 0 e b è limitata, allora a b 0, un per una limitata da un

⋅

n n

n

n

Teorema di Weierstrass pag 302

⟶

Data una funzione : ( K ) una funzione continua e K compatto allora ammette un massimo e un

ℝ ℝ

⊂

minimo K ⊂ ℝ ∃ = sup {(K)} ∃ = inf {(K)}

∃x₀ : = (x₀) ∃x₁ : = (x₁).

Poichè e compatto, ovvero chiuso e limitato, possiamo affermare che e pertanto

K ⊂ ℝ y ∈ K ⇒ y ⟶ z ∈ K ⇒ z ⟶

dobbiamo dimostrare che e n

n n n

Poichè esiste una successione e anche esiste una successione

y ⁻¹(y ) = x ∀x ∈ K : (x) = y ,

n

n n n

K ≠ ∅ y x

Consideriamo ora solo la successione , fac