Analisi 1 - teoremi e dimostrazioni

Teoremi iniziali

Dimostrazione del teorema di numeri primi

^xC₉ = ^(2C₉)2 ⇒ 2

Dimostrazione: Per assurdo prendo la tesi per vera. p e q sono due numeri primi fra loro. p² = 2q² ⇒ 2p² = 2q², p² è pari, allora p = 2x. Possiamo quindi scrivere q = sqrt(2)x³ = 2(sqrt(2)x)³ q³ = qx³ 2x³ 2x anche q è pari ma allora p e q non sono numeri primi fra loro.

Esistenza di infiniti numeri primi

∃ infiniti numeri primi

Dimostrazione: Per assurdo, si un numero finito di numeri primi: p₁, p₂, p₃, ..., p_n. Considero il numero A (p₁, p₂, p₃,..., p_n) + 1. Ovviamente A > p_n, dove A, 1, 2, ..., n, A, non essendo un numero primo dovrà per forza essere divisibile perlomeno uno dei p₁. Impossibile perché A - 1 è un multiplo di tutti i p₁.

Somma dei numeri naturali

∀n ∈ N 1+2+3+4+...+n = n*(n+1)/2

Dimostrazione: La somma dei puntini nⁿ 1+2+3+4+...n sia x = 1+2+3+4+... n, allora 2x è il numero dei punti totali del quadrato dove però la diagonale è stato contata due volte. La diagonale vale n, allora 2x - n = n∗n+1/x = ^n*(n+1)/2

Corrispondenza tra numeri razionali e naturali

L’insieme Q dei numeri razionali può essere posto in corrispondenza con l’insieme N dei numeri naturali.

Dimostrazione: Disponiamo tutte le frazioni in infinite righe di lunghezza infinita nel seguente modo:

• ⁰/₁, ⁰/₂, ⁰/₃, ⁰/₄, ⁰/₅, ⁰/₆, ¹/₁, ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄, ¹/₅, ¹/₆, ²/₁, ²/₂, ²/₃, ²/₄, ²/₅, ²/₆, ³/₁, ³/₂, ³/₃, ³/₄, ³/₅, ³/₆,...

Corrispondenza biunivoca tra insiemi

L'intervallo 0, rt/ mn vuo’ essere messo in corrispondenza biunivoca con N.

Teoria

Pagina 1 Teoremi Iniziali

⁴⁄₉ ≠ ^{(21⁄₃)2 = 2}

Dimostrazione: Per assurdo prendo la tesi per vera. p e q sono due numeri primi fra loro. p² = 2q² → p² = 2q²: p² è pari, allora p = 2x. Possiamo quindi scrivere: (2x)² = 2q² → q² = 2x² → q² = (√2)x². Anche q è pari ma allora p e q non sono numeri primi fra loro.

Infiniti numeri primi

Dimostrazione: Per assurdo, ∃ un numero finito di numeri primi: p₁, p₂, p₃, ..., p_n. Considero il numero A (p₁, p₂, p₃, ..., p_n ) + 1. Ovviamente A > p_n, dove j = 1,2, ..., n. A, non essendo un numero primo fisso devo per forza essere divisibile da almeno uno dei p_j. Impossibile perché A-1 è un multiplo di tutti i p_j.

Somma dei numeri naturali

∀n ∈ ℕ 1+2+3+4+...+n = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁄₂

Dimostrazione: La somma dei puntini n_i = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n. Sia: x = 1 + 2 + 3 + 4 + ... n, allora 2x è il numero dei puntini totali del quadrato dove però la diagonale è stata contata due volte. La diagonale vale n, allora 2x-n = x → x = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁄₂

Corrispondenza tra razionali e naturali

L'insieme Q dei numeri razionali può essere posto in corrispondenza con l'insieme N dei numeri naturali.

Dimostrazione: Disponiamo come segue:

• ^1⁄1, ^1⁄2, ^1⁄3, ^1⁄4, ^1⁄5, ^1⁄6,...
• ^2⁄1, ^2⁄2, ^2⁄3, ^2⁄4, ^2⁄5, ^2⁄6,...
• ^3⁄1, ^3⁄2, ^3⁄3, ^3⁄4, ^3⁄5, ^3⁄6,...

Corrispondenza degli intervalli

L'intervallo tra M n può essere messo in corrispondenza biunivoca con N.

L'intervallo [0,1] non può essere messo in corrispondenza biunivoca con N.

Dimostrazione: Per assurdo sia [0,1] = {a₁, a₂, a₃, a₄, ...}