Analisi 1 - 3-6 Limiti di successione e di funzione, continuità e studio di funzioni

LIMITI E CONTINUITÀ

SUCCESSIONE

∀n ∈ℕ fissato, si dice successione:

• f(n) = (a_n)_{n ∈ℕ}
• a_n = 1/n
• a_n ∈ (-1, 1)

IL LIMITE

(per le successioni) per n abbastanzo grande ∃L ∈ℝ, L ± ε intorno a cui la successione si assesta

• n = 0
• lim x → 0
• lim n → ±∞

∃L ∈ ℝ diciamo lim a_n = L (a_n ∈ ℝ) se ∀ε > 0 ∃N ∈ ℕ ∀n ≥ n_o |a_n - L| < ε, ∀n ∈ ℕ (n → ±∞)

|a_n - L| < ε. ∀n ≥ N allora → a_n ∈ [L - ε, L + ε]

18. LIMITE ±∞

data (a_n)_{n ≥ no}

• lim a_n = +∞ se ∀L ∈ ℝ ∃N ∈ ℕ, ∀n ≥ N a_n > L, ∀n ≥ n_o
• lim a_n = -∞ se ∀L ∈ ℝ ∃N ∈ ℕ, ∀n ≥ N a_n < L, ∀n ≥ n_o

Dim lim n → +∞ = ⇒ L, n > n₁ > L per ordinndolità

OSS1 ∀ε > 0 : |a_n - L| < ε DEF

DEF : ∃N ∈ ℕ, N ≥ n_o, la proprietà vale ∀n ≥ N

OSS2 ε piccolo a piacere

L grande a piacere con a_n = ±∞

L piccolo a piacere con a_n ±∞

OSS3 lim a_n = lim a_m per progressioni

OSS4 lim a_n = lim a_n + h_o = lim a_u no marcato solo definizione di limite

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• SUCCESSIONE REGOLARE
• SUCCESSIONE IRREGOLARE
• SUCCESSIONE DIVERGENTE
• SUCCESSIONE CONVERGENTE

LIMITI PER ECCESSO E PER DIFETTO

• lim_na_n=l^{lim x eccesso} se
• lim_na_n=l^{lim x difetto} se

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TEOREMA DELL'UNICITÀ DEL LIMITE

se lim_na_n=l (l∈ℝ l=±∞) allora tale limite è unico

1. lim_na_n=l₁
2. lim_na_n=l₂

• V_n=max(N₁,N₂) devono valere sia 1 che 2

IN GENERALE b_k è ogni a_nk dove n_k è una

famiglia strettamente crescente e rinvia di indici

Teorema di Permanenza del Segno (2^a forma)

Dato _n regolare / lim a_n ≥ a

1. a_n DEF > 0 ⇒ a > 0
2. a_n DEF < 0 ⇒ a < 0

NB: a_n ≥ 0 DEF _n lim a_n ≥ 0

Dim 1:

• a_n > 0 DEF suppongo a < 0.

Dim 2:

Dato anche b_n con lim b_n = b ∈ ℝ; a, b ∈ DEF, allora a ≤ b

Teorema di Confronto

Dato 3 successioni (a_n), (b_n), (c_n) tali che

1. lim a_n = lim b_n = ∈ ℝ
2. a_n ≤ c_n ≤ b_n DEF

Dim:

1. Fissato ε > 0
2. lim a_n = a
3. lim b_n = b
4. ∃ N ∀ n > N

Teorema sul Limite di Infinitesima per Limitata

Dato (a_n), (b_n) si ha lim a_n = 0 (infinitesima) e (b_n) limitata

Dim:

1. 0 ≤ |a_nb_n| ≤ |a_n||b_n| ≤ M

Quindi per il teorema precedente lim a_nb_n = 0

1. 0 ≤ |a_nb_n| ≤

Proprietà della Asintoticità

1. a_n ∼ b_n ⟺ b_n ∼ a_n p. riflessiva
2. a_n ∼ b_n e b_n ∼ c_n ⟹ a_n ∼ c_n p. transitiva
3. a_n ∼ b_n allora lim_n a_n = lim_n b_n (oppure lim_n b_n)
4. a_n ∼ a_n, b_n ∼ b_n allora
   • lim_n a_n ∙ b_n = lim_n a_n ∙ b_n
   • lim_n a_n b_n = lim_n a_n b_n

Dim 1 lim_n a_n = c ⟹ lim_n b_n = 1

Dim 2 lim_n a_n = lim_n b_n = 1 quindi a_n ∼ b_n

Dim 3 lim_n a_n = lim_n a_n ∙ b_n = lim_n b_n

Dim 4 se lim_n c_n = 1, an ≠ 0 DEF a_n ∙ c_n ∼ a_n

se a_n e c_n sono asintotiche lim_n a_n ∙ c_n = lim_n a_n

lim_n a_n ∙ b_n = lim_n a_n b_n

OSS. a_n ∼ b_n ⟹ a_n^d ∼ b_n^d

OSS. a_n ∼ b_n ⟹ a_n ∼ e^bn

OSS. a_n ∼ b_n ⟹ lim_n (a_n − b_n) = 0

OSS. a_n ∼ b_n log a_n ∼ log b_n

Limite Notevole

lim_n √a_n = lim_n a_n + 1 = 1

Non posso usare asintoticità in somme e differenze

se ho + successioni dello stesso ordine — raccoglio una delle due a caso ma non asintotiche (a → o)

se ho + successioni dello stesso ordine — non posso raccogliere e asintotiche (o → oo)

somma/differenza di radici — razionalizzazione

(a-b) ∙ (a+b) = a² - b²

(a-b) (a² + ab + b²) = a³ - b³

CRITERIO DI NON ESISTENZA DEL LIMITE PER FUNZIONE

Data f: I → ℝ x ∈ I, x ≠ x₀ ∈ I^* di accumulazione.

Se ∃(x_n)_n ⊂ X x_n ≠ x₀ ∀n, con lim x_n = x, lim x_n = x

tale che lim f(x_m) ≠ lim f(x_n) allora ∄ lim_{x→x0 f(x)}

(Il senso era di sostituire x con delle successioni che per x − x₀

(x₀ ∈ I^*)

TEOREMA DI LIMITATEZZA LOCALE DI f CON LIMITE FINITO

Se ∃lim_{x→x0 f(x) = L ∈ ℝ (x0 ∈ I*), allora f è DEF limitata per x→x0}

⟹ ∀ x₀, ∃ ε∈ℝ f(x)

tale che ∀ x∈X∩U_o{x₀}

OSS.

Ad teorema sul limite delle successioni convergentif con limite finito è limitato sono visumi x₀ con per troppo,

era limitata in tutto il relativo dannativo. Invece con le funzioni,

cambiando x₀ cambia tutto.

TEOREMA SUL LIMITE DELLE f MONOTONE su (a,b)

Data f: (a,b) → ℝ monotona ((a,b) aperto o chiuso) allora:

∀ x∈ J_a = [a,b] e f(x_o) = lim_{x→xo f(x)≤ f(xo)≤ limx→xo f(x) = f(xo)con limx→a⁺ f(x) >= limx→b^-}

if f(x_o) = f(a⁺) finitoJ_b se a,b^{(* e})

I PROSSIMI TEOREMI DERIVANO DAL TEOREMA PONTE

• Teorema sull'algebra dei limiti
• Teorema di permanenza del segno
• Teorema di permanenza del segno
• Teorema di confronto
• Teorema sul limite del' infinitiessima per infinitesima
• Teorema sull'algebra della infinitesimi
• Teorema del limite reciproco

esiste sup lim_{x→xo f(x≠∞ ese per limx→xo→xo for exists}

∞ ot ∞ non esistetrovalo tra lim del reciproco

forma indeterminate

• ∞−∞
• ±∞·0
• ∞/∞
• 0⁰

tutte le technique per limiti di f.I. vengono anche per le funzioni