Algebra 1 (parte 4)

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KH G1 Hnk Le2 Le KEKHHK HkdeiG3 prodottiinsiemeEsempioG ZIGidH idK 32 4H K 4 è abelianoperché1 normalie sonoLeHnk2 HK 7163Per il 212716delteorema resto 23Ecinese prodottoesternoProp 4 è Kprodotto direttose Htrainterno e7 htG he tttg k1 e ke t.c.getheft UK k ha2 SieLk KMghiki LakaDim Supponiamo1 Lakahi Kihihi p'Ieneleyfighekaki intersezioneeKEHah h2 K K2 perconiugatoTDE.ltikhkh KConsideriamo2 perconiugato LKhhkh k.ie hicAKE Khe KCorollario GSia il direttoprodotto internodi H Ke th HeHG K4 KK keh4h KIXKè isomorfismoomomorfismohi KatkaXKgi g ylhaxk.clHg YChixkil4194alggChi ha 9192I omomorfismoèka gki unHx74 GK thxIh4 ig gben discritturalaposta in quanto comegdi he èprodotto k unicaCaselli2112RICEVIMENTO 17DIC6 3014CON 00920112ULTIMA 0011LEZIONE 00ESERCIZIProdotti diretti KH K HK K KK ESTERNOE EG H K G t.co internoegruppo1 H K AGHnk e HI IKIHK finitoG3G IG GIHAKH entrambiGOSS finitiK EHAGHnk eHK HIh h K è GdiK e eK un sgrLAKI IHI

IKIeDin OSSHK è 4diSgr thihikikaVerifichiamo ilche prodottoÈ HKG KakaKA hi KikiK KKaK 2ET lett EkperchéÈ normaleIl fatto lhkl dall'OssIHI.lk segue CheHkdi scriveelemento insi modoogni Hh Kprodotto di Infatticome e Ke eunicotiki taka HAhi Khi Kaki E eehi haK K2Prodotti diretti deisemi generalizzazioniprodottiinterni direttiDef a AlloraNH GGegruppo4 semi direttoprodottodice seinternosiHAN lela Finito6 GIIHI NIGAN 22Notazione Se 4 semi direttoprodotto È diNe scriveremoG HAN NIHSe alloraHAN ÈGOss cheverononahha ENtu Ah EH itimplicaperché normaledirettoprodottoovveroNHANMa G hail suoµ inverso ahnNHhihi anche perchémae È unquesto gruppoHANSe G alloraHprotezione LTIKA ENUh EH EnomomorfismoÈ suriettiva Èil nucleocuiN 4 alt fondamentaletquind ilper omomorfismidegliTE definitaben lapoiché nn èscritturaunica EHV4 hatchTésuziettivo poicheè omomorfismoit Chin h haha hIT hahahanc

It n naEntenehTIK hancitmiKer NITESEMPIOG SuI N An SuAn permutazioni normalepari inIG An ZIHIH L02eNAH eIANNIISI ANHSuES G GLUCK AN MatriciSLA dataIK t.coIA NAHGtcdi GSgrSe BA H bceta dete condataABdet dataAB ABEEH N LidlBAdevonoHIn dettutti valori deiicompariredi 1k solavoltaunaH H GEHAN lelÈ Gche HAveroA G GLUCKEh GIA 9 EhL'AfA Teh detti Alen perché Adetti detidata data 1BnESEMPIO delle permutazionigrupposegnateBu tutepermutazioni mi nioGlikte oh3R 23 2 310 1 QUESTAAVENDOA 32 230 1 ERESTOIL DETERMINATABnl 2n scelte possibili dei segnisceltadella permutazionesenza segniiSu Bn ordinedie u tiR leiBn GliGEG i inRn Su leSu Saror.ieEO RT E ROro Efi 6E 2,32 3 17 6fi 2,33 31 2761_ 02 3453L R616_ 2,3 ER normaleèBu Rosa fondamentaleBua tilSu pere degliomomorfismiProblemaSia Na Ggruppoun fatticapire i normalesonoVogliamo come sgrdi C'è relazione GGg qualche con i sardiN NEGEsempio ZGIN ZinI Zindi Ha 2KASono KEsgr 2 nadiSgr che contieneHa d 42In diiquesto

quoziente: semplificare si può

fondamentale: Teorema II di omomorfismo

N4 N HHH egruppoEee EDim

Consideriamo l'omomorfismoE4Ny41193N 9 A è ben se 93Nposta 197Ny N EH DgiEgi gi GIA 923gi 4hsesuriettiva è 4493Ne 94 gKery e4 gin he9519 g9 A InKery èG è elementoil cuiun neutrogruppo

QuindiNe genegAzione di gruppoG diciamo 4X sucheinsiemegruppo agisceX omomorfismose datoè un perineazioneSAI44 xg 9g

Dire omomorfismoè che y equivale alrichiedere 4g 49,04gg

ESEMPIO A Su X 1,2 inId4In Sn daquesto sui iancaso numeriagisce4g 6G X GgruppoEsempio G SCACconiugio g 1 cgDove h gnàCgverifichiamo è un'azioneche gigahgilg.itggahlggatcgigihlgigging gainCgScal è perchécioè biunivocaeCg è la suaCgil inversa GG YEsempio disottogruppigruppoSCUGCthe G gagCgia èOsserviamo infatti ancora unche gita4disottogruppo gliel'gli'gilghig.itghig gageEGgagEsempio X G èd permutaziounaG scalD

l'inviterà Ègegrecatigihl ghperstaleft h h Again AgidgachigAgga gigaEsempio Scal4f Lgconh hg ènonfg unomomorf smot240per right hgigifgglhl ng.gl fgalhig fgilfga.chIKI KXGEsempio vettorialecampo spLa scalarepermoltiplicazioneCVHIV fa degliparteè 4un'azione di Xsu vettorialedi spassiomiSe Ci considerarneX lepossiamosuagisceorbite l'orbitasia X di èeON alyglxl.ge È IeiorbitaProp diad unaappartenere Zeestessa orbita è unaDimR Olt poichéx e le xS OCUse YEOHxe IHIalloraIge 4Gtc 4gal 4gMaYEOHT out OczMEO Z Exe 4 zZy XOn egaUguale4gx OCZXECaselli9112 Azione Gruppodi unG X insiemegruppoAzione di XG su SGG4 g 9gomomorfismoESEMPISu su 1,2 insu G4 coniugioperG Gdisui per coniugiosottogruppia su G moltiplicazione a sxperGHse l'azioneE possiamo considerare1 lateralimoltiplicazione su X sxa sx HdiHg'H lateraleèAg sxancoragg unOrbite Xsia EOH gea4galle formanoorbite di Xpartizioneunala 04relazione se èXEany

Una d'equivalenza REL Azione

Guardiamo orbite le fatti degli esempi fin'ora

G Su X nIi OCI 6OCA Sul E

Se abbiamo sola in orbita questo come un'al azione caso transitiva si