Aerodinamica - Appunti completi

Aerodinamica

M > 1

z = z(ξ)

ξ = ξ(z)

F(ξ) w(ξ)

f(z) w(z)

Pto angoloso

Da ora in avanti mi considereremo fenomeni che avvengono fuori dallo strato limite, cioè importante, bisogna tenere in considerazione le equazioni fra corrente interna ed esterna e che le due non sono indipendenti (condizioni di interfaccia).

Corrente esterna - eq. Eulero nel o lo strato limite è sottile e molle

Corrente interna - eq. Navier Stokes per interazioni più complesse

Data la grande importanza che ricopre la vorticità nell’aerodinamica (Portanza per circolazione = Vorticità). Studiamo dei modelli e Teoremi per comprendere più a fondo e semplificare la trattazione.

Vortici e Vorticità

Vorticità:

ω = ∇ × u rotore del campo di velocità

∇ × (∇ × u) = ∇(∇ ⋅ u) − Δu = − Δu

Δu = 0     eq. Vettoriale = ciascun termine ha la sua direzione

Guarda termine a termine:

∇ × (∇ × u) = ∇ × ((∇ ⋅ u)u + u ⋅ ∇u − v₂∇₂κα₂) = ∇ × (0)

Laplaciano di un campo F. ∇²F = (∇ ⋅ ∇F - (∇ ∇) F

∇ ⋅ (∇ × F) = 0

⇒   ∂_ω/_∂t + (u ⋅ ∇) ω - (ω ⋅ ∇) u - 1/_Re ∇²ω = 0   Diagramma di Transinto indica un visto differenziale (per cella molecolare).

Derivata sostanziale

D

Dt

=   ∂_t/∂_t(u ⋅ ∇ )

operatore differenziale

D

∂t

- rapidità con cui varia le proprietà di una particella di fluido

Anche le particelle che compongono un tubo vorticoso sono sempre le stesse in quanto composto da linee vorticoso materiali.

Quindi: Si prenda una linea chiusa che abbraccia il tubo vorticoso (linea materiale una sta nel tubo); per la Teorema di Kelvin la circolazione associata a una linea materiale si conserva nel tempo.

(corollario Teo Kelvin)

Tubo vorticoso attorno profilo

Vortice di vincolamento (all'∞)

Ex. Profilo alare in galleria del vento

• Tubo vorticoso che venna la parete deve (non può entrare)
• La vorticità non è più l'ala velocità quando decade è quello di che volevo reappropriarsi (nel 3D uidi)

uinf1, uinf2 V

Come fa finire il flusso d'aria attorno a uno spigolo? La pressione.

• Punto di separazione strato limite per spigolo vivo.
• Una pinna d'aria con spigolo vivo separa flusso se non in pontenza a definire.

INSTABILITÀ DI KELVIN-HELMHOLTZ

Cavallone di instabilità

Controllo strato limite:

• getto trasversale
• soffiaggio

Ala a delta → possiede due tubi vorticoso

• vortice che contribuiscono alla portanza
• a causa dei vortici il flusso rimane attaccato

Al centro del vortice la velocità = maggiore, la pressione è più bassa e per forza centrifuga le particelle (elementu) sono spinta verso l'esterno

vortice elicoidale

turbulenza

INSTABILITÀ DI KELVIN-HELMHOLTZ: instabilità fluidodinamica che si presenta quando i diversi strati di fluido sono in moto relativo gli uni con gli altri, a seguito di una piccola perturbazione sull'interfaccia tra le due regioni.

Delta Wings

Le ali a delta sono usate nei velivoli supersonici per ridurre l'effetto dell'ondad'urto nel bordo di attacco.

- A basso angolo di incidenza (AoA) le ali a delta funzionano come ali conallungamento elevato (aspect ratio) molto basso.

- Ad elevato AoA la separazione sull'ala produce un flusso vorticoso vantaggiosoper la produzione di portanza.

- In quelli che AoA sono: bordi di attacco si comportano come bordi diuscita. Si formano due linee di attacco nella zona inferiore dell'ala.

(Il profilo dell'ala e' immergente essendo il flusso separato)

La distribuzione di portanza risente della topologiadella corrente sopra l'ala:

Zona di depressione maggiore (in corrispondenzadei vortici ⇒ aumenta la corrente rispetto allacorrente non separata.

La differenza delle classiche ali.)

Lo stallo nelle ali a delta non avviene peruna separazione, ma per "esplosione" del vortice.

- Instabilità elicoidale- Porta a una correnteturbulenta

- Non c'è più una rotazioneordinata

A pari α si ottengono C_L molto più grandi

Introduction to Complex Analysis

• Neighbourhood of a point z₀ in the complex plane is the open set of { z : |z − z₀| < }
• z₀ is internal to a set S if ∃ a neighborhood of z₀ entirely contained in S.
• An open set S is a set whose points are all internal to S itself.
• A boundary point of S is a point whose neighborhoods contain at least one internal and one external point.
• A region is a set containing all internal points of an open set possibly plus some boundary points.
• Open region S: a region excluding its boundary points.
• Closed region S: a set containing all its boundary points.
• Bound region: S is bounded if it stays a certain distance away from any other point.
• Connected region: an open region where any two points belonging to the region can be connected by a continuous curve belonging to the region.

The limit concept for complex functions is analogous to that for real functions: We say that

If, ∀ > 0 ∃ > 0 such that ∀ z : 0 < | z - z₀ | < it is | f(z) − w₀ | < .

Remark: If the point z₀ belongs to the boundary or region ℜ where the function is defined, the neighbourhood around z₀ becomes:

0 < | z − z₀ | < , z ∈ ℜ.

Remark: For the limit to exist, the value w₀ must be independent of the direction followed by z to approach z₀.

A similar definition holds for limits at infinity:

If, ∀ > 0 ∃ > 0 such that ∀ z : | z | > 1/ it is | f(z) − w₀ | < .

Also the definition of continuous function is very similar to that for real functions: we say that f(z) is continuous in z₀ if

f(z) is uniformly continuous where ₁ in the limit definition is independent of z₀.

The following composed functions are continuous where the components are f(x) + g(x), f ₁(x)g ₂(x), and also f ₁(x) / g(x) where g(z) is also different from zero.

Conditions for Differentiability

We wonder under which conditions the complex derivative exists. As we said, the derivative must be equal whatever the direction we use to take the limit, then we can try with real and imaginary axis directions. Let

butlim_x→x0 ^{u(x,y) − u(x₀, y₀)}/_x−x0 = ^∂u/_∂x,lim_x→x0 ^{v(x,y) − v(x₀, y₀)}/_x−x0 = ^∂v/_∂x,lim_y→y0 ^{u(x,y) − u(x₀, y₀)}/_y−y0 = ^∂u/_∂y,lim_y→y0 ^{v(x,y) − v(x₀, y₀)}/_y−y0 = ^∂v/_∂y

The two limits must be equal for the complex derivative to exist, then we obtain necessary and sufficient conditions (beside the regularity of u and v) for the complex derivative to exist

Theorem

The complex function f(x) is differentiable in z = x + iy belonging to a region of the complex plane if and only if the derivatives ^∂u/_∂x, ^∂u/_∂y, ^∂v/_∂x, and ^∂v/_∂y exist in that region, they are continuous and satisfy the Cauchy-Riemann conditions.