5 studi di funzione - Difficoltà medio-alta

Limiti x

Partiamo a studiare i limiti per che tende ai valori di frontiera del dominio non inclusi (quindi

0

solo lo ): 2 0

-

x x

lim = 0

x

-

→ 0

x

0

Per risolvere la forma indeterminata possiamo ad utilizzare il teorema di de L'Hopital:

0 1 1 2 1

x-

2 1

⋅ ⋅ ( )

x -

2 2

x -x 2 2

2⋅

x x x x

- -

lim = lim = lim =

1 1

x

- - -

→ → →

0 0 0

x x x

2 1 0 1

x - - ∞

= lim = = -

0

-

→ 0

x 2

2 ⋅ x x

-

= 0

x

La retta è un asintoto verticale → ±∞

x

Passiamo adesso a studiare i limiti per 2 ∞

x x

-

lim = ∞

x

→ ±∞

x

∞ 2

x

Per risolvere la forma indeterminata possiamo provare a raccogliere all'interno della

∞

radice quadrata. Quindi: 1 1

2 | |

1 1

⋅

x

x - -

x x

2 -

x x

lim = lim = lim =

x x x

→ +∞ → +∞ → +∞

x x x

1 =1

1

= lim = 1

- x

→ +∞

x 1 1

2 | |

1 1

⋅

x

x - -

x x

2 -

x x

lim = lim = lim =

x x x

→ ∞ → ∞ → ∞

x - x - x -

1 1

1

= lim = 1 =

- -

x

→ ∞

x -

2 = | |

x

x

Ricordare sempre che perché per definizione la radice quadrata è sempre un

numero positivo.

= 1

y

La retta è un asintoto orizzontale.

= 1

y -

a retta è un asintoto orizzontale.

Massimi e minimi 2

x x

-

( ) =

f x x 2 1

x- 2

⋅ x- x x

-

2 2

⋅ ( ) ⋅

- - -

x x x x

D x D x 2

2 x -x

( ) = = =

'

f x 2 2

x x

2

( )

2 1 ⋅ 2

x- x - x -x 2 2

2 2 2

+

x x x x

- - x

2

2 -

x x

= = =

2

x 2 2 2 2

2 2

- -

x x

x x x x

Dobbiamo quindi studiare x ⩾ 0

2 2

2 -x

x x 0

Ci limiteremo a studiare il numeratore in quanto il denominatore è sempre maggiore di , in

∀ ∈

x R

quanto prodotto di tre quantità sempre positive . Per il numeratore la soluzione è

⩾ 0

x

ovviamente .

Dunque: 0 +

-

x + +

2 2

2

x x x

- +

-

Risultato

Nello studio di segni non abbiamo tenuto conto di tutti i valori perché stiamo studiando il caso

⩾ 0 0

x

in cui quindi non ha alcun senso considerare nel grafico i valori sotto lo .

0

Otteniamo quindi che per tutti valori maggiori di la funzione sarà crescente, mentre sarà

0 = 0

x

decrescente per tutti i valori minori di . Dato che in la funzione non è definita, il valore

= 0

x non costituisce un minimo relativo della funzione.

( ) [ 1, +∞ )

f x

La funzione è crescente nell'intervallo .

( ) ( ∞, 0 )

f x -

La funzione è decrescente nell'intervallo .

2 -

x x

( ) = log

f x | | + 2

x

Dominio

La funzione è composta da un logaritmo e da una frazione. Per il logaritmo dobbiamo

imporre che l'argomento sia strettamente maggiore di 0, mentre per la frazione dovremo

imporre che il denominatore sia diverso da 0. Quindi:

sempre verificata perché il modulo

| | + 2 ≠ 0 ⟹ | | ≠ 2

x x - è una quantità sempre positiva

2 0 1 0

> ⟹ ⋅ ( ) >

x x x x

- -

2

x x

- >0 ⟹ sempre verificata perché il modulo ha valore sempre

| | + 2

x + > ⟹

| | 2 0

x positivo, quindi sommato a una quantità positiva

(cioè il numero 2) il risultato sarà sicuramente positivo.

( > 0 ) ( 1 > 0 ⟹ > 1 )

x x - x

Ci limiteremo a studiare quindi e .

0 1

+ +

x -

1 +

x- - -

+ +

-

Risultato

Gli intervalli in cui l'argomento del logaritmo è maggiore di zero, e quindi in cui il logaritmo

( ∞, 0 ) ( 1, +∞ ) 0 1

-

esiste, sono quindi e . I valori e sono esclusi perché l'argomento del

logaritmo dev essere strettamente positivo e non può annullarsi.

Segno ( ) ⩾ 0

f x

Per lo studio del segno poniamo : 2 -

x x 0

log ⩾

| | + 2

x

Passo all'esponenziale a destra e a sinistra della disequazione:

2 -

x x

log 2 -

x x

| | + 2

x 0 1

⩾ ⟹ ⩾

e e | | + 2

x

2 2 | | 2

x x x x x

- - - -

⟹ 1 ⩾ 0 ⟹ ⩾ 0

-

| | + 2 | | + 2

x x

Poiché c'è un argomento nel modulo conviene ragionare per intervalli ponendo l'argomento

0

x

del modulo (in questo caso ) maggiore di 0 e poi minore di .

> 0

x

Caso : | | =

x x

in questo caso perché il modulo con argomento positivo è proprio il valore

dell'argomento. 2 2

2 2 2

x x x x x

- - - - -

⩾ 0 ⟹ ⩾ 0

+2 +2

x x

Numeratore: 2 2 2 0

⩾

x x

- - 2± 12

= + = ⟹ = = 1± 3

4 8 12 x 12 2

1 1+

⩽ 3 ∨ ⩾ 3

x x

-

Denominatore: + 2 ⩾ 0 ⟹ ⩾ 2

x x -

2 3 1+ 3

- -

1

+ + +

-

2 2 2

x x

- -

+2 + + +

x -

+ +

- -

Risultato ( )

f x

I segni relativi alla riga "Risultato" delineano gli intervalli in cui è positiva o negativa.

> 0

x

Poiché stiamo studiando il caso non terremo conto degli intervalli con ascissa

1, 1

( ) < 0 ∈ + 3 ( ) > 0

x

f x f x

negativa. Quindi avremo che per e per

1+ ∞

∈ 3 ,

x . ∈ [ 0, 1 ]

x

Ricordiamo che per il dominio la funzione non esiste per

⩽ 0

x

Caso : | | =

x -x

in questo caso perché il modulo con argomento negativo è proprio il valore

dell'argomento con il segno meno davanti.

2 2 ( )

| | 2 2

- - - - - -

x x x x x -x

⩾ 0 ⟹ ⩾ 0

| | + 2 + 2

x -x

2 2

x -

⟹ ⩾ 0

2 -x

Numeratore: 2 2

2 0 2

⩾ ⟹ ⩾

x x

-

⩽ 2 ∨ ⩾ 2

x - x

Denominatore: 2 > 0 ⟹ < 2

-x x

+

2 2 2

-

+ + +

2 -

2

x -

2 + + +

-x -

+ +

- -

Risultato ( )

f x

I segni relativi alla riga "Risultato" delineano gli intervalli in cui è positiva o negativa. In

∞, 0

( ) > 0 ∈ 2 ( ) < 0 ∈ 2 ,

x - - x -

f x f x

questo caso avremo che per e per

Limiti x

Partiamo a studiare i limiti per che tende ai valori di frontiera del dominio

2

x x

- 0 ∞

lim log = log( ) = -

| | + 2

x

→ 0

x 0 ∞

-

Ricordiamo che il logaritmo di un argomento che tende a tende a .

= 0

x

Quindi è un asintoto verticale. 2 -

x x 0 ∞

lim log = log( ) = -

| | + 2

x

→ 1

x

= 1

x

Quindi è un asintoto verticale. → ±∞

x

Passiamo adesso a studiare i limiti per 2 ∞

x x

-

lim log = log

| | + 2 ∞

x

→ ±∞

x

Poiché il logaritmo è una funzione continua possiamo andare a calcolare il limite

dell'argomento e poi passare al logaritmo. Poiché si ha che

2

x x

-

lim = ∞

| | + 2

x

→ ±∞

x

allora 2 -

x x ∞ ∞

lim log = log( ) =

| | + 2

x

→ ±∞

x

ricordando che il logaritmo di una quantità che tende a infinito tenderà a infinito.

Massimi e minimi

⩾ 0 ⟹ | | =

x x x

Caso . 2

x x

-

( ) = log

f x +2

x

2 +2

- x

x x

' ( ) = ⋅ =

f x D +2 2

x x x

-

2

( )( + )

2 1 2

- - -

x x x x +2

x

= ⋅ =

2 2

2

( + )

x x x

-

2 2

+ + +2

2 4 2

- - - x

x x x x x

= ⋅ =

2 2

2

( + )

x x x

-

2 4 2

+ +2

x x - x

= ⋅ =

2 2

( + )

2 -

x x x

Dobbiamo quindi studiare 2 4 2

+

x x - ⩾ 0

2

2

( + )

x x x

-

Studiando i fattori separatamente si avrà che:

4 2

± 2

-

2 4 2 0 2± 2 2+

+ ⩾ ⟹ = = 2 ⟹ ⩽ 2 ∨ ⩾ 2

x x x x x

- - - - -

A) 2

+ 2 ⩾ 0 ⟹ ⩾ 2

x x -

B) 2 0 0 1

⩾ ⟹ ⩽ ∨ ⩾

x x x x

-

C) 0 1

+ +

2 + 4 2

-

x x

+2 + +

x +

2 -

x x

- +

-

Risultato

Nello studio di segni non abbiamo tenuto conto di tutti i valori perché stiamo studiando il caso

⩾ 0 0

x

in cui quindi non ha alcun senso considerare nel grafico i valori sotto lo .

[ 0, 1 ]

Considerando che l'intervallo è completamente escluso dal dominio della funzione,

( ) ( 1, +∞ )

f x

otterremo da questo studio che la funzione è crescente nell'intervallo .

< 0 ⟹ | | =

x x -x

Caso . 2

x x

-

( ) = log

f x + 2

-x

2 + 2

x x

- -x

( ) = ⋅ =

'

f x D + 2 2

-x -

x x

2

2 1 2

( )( + ) +

x -x x x

- - + 2

-x

= ⋅ =

2 2

2

( + )

-x x x

-

2 2

+ + + + 2

2 4 2

- - -x

- x x x x x

= ⋅ =

2 2

2

( + )

-x x x

-

2 4 2

+ + 2

-x x - -x

= ⋅ =

2 2

2

( + )

-x x x

-

Dobbiamo quindi studiare 2 4 2

+

-x x - ⩾ 0

2

2

( + )

-x x x

-

Studiando i fattori separatamente si avrà che:

2 2

4 2 0 4 2 0 2 2+

+ ⩾ ⟹ + ⩽ ⟹ 2 ⩽ ⩽ 2

-x x x x x

- - -

A) + 2 ⩾ 0 ⟹ ⩽ 2

-x x

B) 2 ⩾ ⟹ ⩽ ∨ ⩾

0 0 1

-

x x x x

C) 0 2 -

4 2

+

-x x -

+ 2 +

-x +

2 -

x x -

Risultato

Nello studio di segni non abbiamo tenuto conto di tutti i valori perché stiamo studiando il caso

⩽ 0 0

x

in cui quindi non ha alcun senso considerare nel grafico i valori sopra lo .

+ 2 ⩾ 0 ⩽ 2

-x x

Ad esempio poiché dal punto B) abbiamo ottenuto che per , allora

( ∞, 0 )

-

sappiamo che è positiva in tutto l'intervallo cioè l'intervallo di nostro interesse.

Figure 1: Grafico della funzione. Da n