Turbolenza - 5

Cerchiamo di trovare delle soluzioni per avere un riscontro più pratico.

Per esempio nel pratico vogliamo avere dei C_D e C_L ottimi, anche questi saranno dei parametri medi.

Tratto che ci interessa nei primi numeri d'onda sarebbe la media

Quindi ci andremo a concentrare sulle grandezze medie, introduciamo la decomposizione di Reynolds:

<ū(x̄,t)> = <ū> + ū'

<ū> = Ū → Campo di moto medioū' → Campo di moto delle fluttuazioni (scarto rispetto alla) media

Quindi se fino ad ora abbiamo studiato la turbolenza tramite la decomposizione in scale (<δq²>) e quindi con aspetti universali, ora studieremo la turbolenza tramite la decomposizione in livelli (^U, ^u).

Se prima avevamo studiato il problema in modo universale, quindi potevo considerare tutti i possibili flussi turbolenti e la teoria andava bene per tutti, ora abbiamo problemi specifici per ogni flusso turbolento.

È importante guardare il campo di moto medio, perché le fluttuazioni sono irripetibili, invece la media è ripetibile.

Definiamo l'operatore di media:

<^U(^x,t)> = ∫ ^U(^x,t,ω) μ(dω) (definizione di valore atteso)

μ(dω) = p df(ω)dω → densità di probabilità

^U(^x,t,ω) → soluzione di N-S che ha condizioni al contorno ω

ω è un parametro che usiamo per dire che avrò un certo valore di condizione al contorno che però sarà diversa dalla condizione che avevo nello sperimento

SE: << u'i >> = < u'i > ESSENDO < u'i > UNA COSTANTE

NELLA COMPOSIZIONE DI REYNOLDS ABBIAMO:

ū = < ū > + u' => << ū >> = << ū >> + << u'>> => < u'i > = < u'i > + < u'i >

=> < u'i > = 0

CIOÈ LA MEDIA DELLE FLUTTUAZIONI È = 0

E QUINDI ABBIAMO LA CONSERVAZIONE DELLE

FLUTTUAZIONI.

- OPERATORE LINEARE:

< ∂/∂xj ui > = ∂/∂xj < ui >

< ∂/∂t ui > = ∂/∂t < ui >

ORA SCRIVERE LE EQUAZIONI PER IL MOTO MEDIO:

EQUAZIONI DI REYNOLDS MEDIATE DI NAVIER-STOKES

(REYNOLDS-AVERAGE NAVIER-STOKES => RANS)

• ∂ui/∂xi = 0
• ∂ui/∂t + ∂/∂xj ui: uj = -1/ρ ∂p/∂xi + ν ∂²ui/∂xj ∂xj

INTRODUCIAMO LA DECOMPOSIZIONE DI REYNOLDS:

ui = Ui + ui

Con il termine _t < ui' uj'> ho introdotto altre 6 equazioni, che era quello che ci serviva per chiudere il sistema, ma ho introdotto nuove incognite (< ui' uj'>).

Questo è il problema di chiusura della turbolenza, cioè la correlazione tra le fluttuazioni di ordine n, con le fluttuazioni di ordine n-1.

Anche se non riusciamo ad avere un risultato vero e proprio le RANS mi danno comunque delle indicazioni molto importanti sul fenomeno che stiamo studiando.

Nel CFD si considera < ui' uj'> = f (ui, p), cioè qualcosa che si conosce, quindi sono termini noti.

Cerchiamo di capire qual'è il termine che produce la turbolenza, scriviamo la relazione tra moto medio e moto fluttuante scriviamo l'energia cinetica di questi due moti:

< K > = 1/2 < ui ui > = 1/2