Turbolenza - 5

Soluzioni per parametri medi ottimali

Cerchiamo di trovare delle soluzioni per avere un riscontro più pratico. Per esempio, nel pratico vogliamo avere dei C_D e C_L ottimi, anche questi saranno dei parametri medi. Il tratto che ci interessa nei primi numeri d'onda sarebbe la media. Quindi ci andremo a concentrare sulle grandezze medie, introduciamo la decomposizione di Reynolds:

Ū -> Campo di moto medio
u̅’ -> Campo di moto delle fluttuazioni (scarto rispetto alla media)

Cerchiamo di trovare delle soluzioni per avere un riscontro più pratico. Per esempio, nel pratico vogliamo avere dei C_D e C_L ottimi, anche questi saranno dei parametri medi. Tratto che ci interessa nei primi numeri d'onda sarebbe la media. Quindi ci andremo a concentrare sulle grandezze medie, introduciamo la decomposizione di Reynolds:

̄u (̄x,t) = + u̅’: U̅ -> Campo di moto medio
u̅’ -> Campo di moto delle fluttuazioni (scarto rispetto alla media)

Decomposizione di Reynolds e turbolenza

Quindi se fino ad ora abbiamo studiato la turbolenza tramite la decomposizione in scale (< δq² >) e quindi con aspetti universali, ora studieremo la turbolenza tramite la decomposizione in livelli (ω = ω + ωω). Se prima avevamo studiato il problema in modo universale, potevo considerare tutti i possibili flussi turbolenti e la teoria andava bene per tutti, ora abbiamo problemi specifici per ogni flusso turbolento. È importante guardare il campo di moto medio, perché le fluttuazioni sono irripetibili, mentre la media è ripetibile.

Operatore di media e distribuzione di probabilità

Definiamo l'operatore di media:
< ω(x̄, t) > = ∫ ω(x̄, t, ω) µ (dω)   (definizione di valore atteso)
µ (dω) = p d f(ω) dω → densità di probabilità
ω(x̄, t, ω) → soluzione di N-S che ha condizioni al contorno ω

ω è un parametro che usiamo per dire che avrò un certo valore di condizione al contorno, che però sarà diversa dalla condizione che avevo nello esperimento precedente e dall'esperimento prossimo, questo perché abbiamo la problematica delle variazioni delle condizioni al bordo, senza che noi riusciamo a misurare perché sono infinitesime. Quindi avremo una serie di risultati che variano con ω. Andiamo a prendere tutte le possibili realizzazioni al variare di ω, calcolando la densità di probabilità:

Se la distribuzione è larga, vuol dire che avrò probabilità non trascurabili, quindi se è larga ho fluttuazioni che si allontanano dalla media che non sono trascurabili. Quindi, dobbiamo trovare la ω_media per dare più peso ai valori trovati con quella ω_media (o magari, con un peso minore, a valori con ω vicino a ω_media). Non riusciamo ad usare il valore atteso perché dovremmo conoscere p(δf(ω)), cioè conoscere la probabilità che le condizioni al contorno nominali sono diverse da quelle che abbiamo, ma se non le riusciamo a misurare non riusciamo neanche a calcolare la probabilità!

Tipologie di media nella turbolenza

Quindi andremo a studiare tre medie:

• Media di insieme:
  <_u(x,t)> = lim_N→∞ 1/N ∑_K=1^N u(x,t,ω)
  N = numero di esperimenti
  Questa è la classica media “aritmetica”, cioè medio tutte le velocità trovate che ho misurato nei singoli esperimenti. Più esperimenti faccio, più il risultato è attendibile, ma molto costoso. Proprio per questo motivo si utilizza un altro tipo di media.
• Media temporale:
  <_u(x,t)> = lim_T→∞ 1/t ∫_t^t+T u(x,ω) dω
  Se il campo di moto ha una soluzione stazionaria, posso fare la prova per minuti/ore, acquisire le fluttuazioni e fare la media.
• Media spaziale:
  <x,L,ω∞ ū(x̄,t) = lim_L→∞ 1/L ∫_x^x+L ū (x',y,z,t) dx'
  Questa media si può utilizzare solo se la soluzione è statisticamente omogenea in qualche direzione, tipo quando studiamo un'ala molto larga rispetto alla corda, quindi lungo la larghezza dell'ala consideriamo di avere le stesse condizioni.