5 Successioni

Le successioni

Insiemi e nuove successioni

Le successioni sono insiemi che si susseguono secondo una certa legge. Grazie a queste leggi, possiamo definire le successioni di numeri naturali (P_nIN), interi (P_o P_zIN), e persino numeri complessi (P_e P_u F_un IN_n).

Struttura d'ordine

Definiamo successioni crescenti, decrescenti e costanti. Una successione è debolmente crescente quando, per ogni n, si ha f_n+1 ≥ f_n. È strettamente crescente se f_n+1 > f_n.

Una successione è debolmente decrescente se f_n+1 ≤ f_n e strettamente decrescente quando f_n+1 < f_n. Una successione è costante se f_n+1 = f_n.

Verifica di crescita o decrescita

Per dimostrare se una successione è crescente o decrescente, prendiamo un esempio: se una successione è crescente se f_n = 1, allora è crescente. Questo ci permette di definire una successione monotona.

Successioni monotone

Una successione monotona è una successione che è strettamente crescente, decrescente o costante.

Successioni limitate

Una successione è limitata superiormente se esiste un numero tale che ogni termine della successione è minore o uguale a quel numero. È limitata inferiormente se esiste un numero tale che ogni termine della successione è maggiore o uguale a quel numero. Se la successione è limitata sia superiormente che inferiormente, allora è limitata.

Successione convergente

Una successione è convergente se esiste un numero reale limite tale che i termini della successione si avvicinano a questo numero man mano che si procede nella successione. Introduciamo il concetto di limite: se una successione ha un limite unico, allora convergente al limite stesso.

Teorema: Unicità del limite

Se il limite di una successione esiste ed è unico, allora la successione convergente al limite è unica. Supponiamo di avere una successione con due limiti distinti: ciò porterebbe a una contraddizione.

Teorema: Ogni successione convergente è limitata

Se una successione è convergente, allora è limitata. Questo significa che esiste un numero tale che ogni termine della successione è minore o uguale a questo numero.

Esempio di calcolo del limite

Consideriamo la successione 1/2, 1/3, 1/4, ..., il cui limite è 0. Dimostriamo che questa successione converge a 0.

Successione divergente

Una successione è divergente se tende a infinito o meno infinito.

Teoremi sulla regolarità delle successioni

Una successione è irregolare se non è né convergente né divergente. È regolare se è convergente o divergente.

Le successioni crescenti sono un esempio di successioni regolari o irregolari in base alla loro tendenza.