5 Successioni

Teoremi sulle successioni

Teorema 1: una successione è irregolare se non è né convergente né divergente.

Teorema 2: una successione è regolare se è convergente o divergente.

Una successione crescente è un particolare caso di successione convergente.

Una successione decrescente è un particolare caso di successione divergente.

Dimostrazione Teorema 1:

Sia M una successione limitata superiormente e crescente. Per l'Assioma di Dedekind, M possiede un estremo superiore che coincide con il limite della successione. Quindi, per ogni N aM, ci deve essere un numero intero M che è maggiore di N.

Prendiamo M ipotesi che la successione sia convergente. Allora esiste un numero reale M tale che per ogni epsilon maggiore di 0, esiste un numero intero N tale che per ogni n maggiore di N, |a_n - M| è minore di epsilon.

Ma sappiamo che per ogni epsilon maggiore di 0, esiste un numero intero N tale che per ogni n maggiore di N, |a_n - M| è maggiore di epsilon. Quindi, la successione non può essere convergente.

Quindi, la successione M è irregolare.

Dimostrazione Teorema 2:

illimitata tu1HpK Superiormente aoadivergecrescente2 1dire tip M theirfu 7illimitataessendo superiormente2up ENàcrescenteessendo fàfupresipeocio iituaEME fufa riscrivereNon diabbiamo laaltro defchefattosuccessione divergentet.c.vnAM 7M7 à ENO ci fuTeorema: ogni successione monotona é regolareOss!: successioni di potenze di un numeroConsideriamoK successionileL ha LENfu comeneri2 costante0 successione 1 1fulinea fu 4successione270 aceti 00crescente li line fain aosuperiormente ma2 guest linedeerescentesuccessione 000 fuiii aoinferiormentefai GERq con base intera19 esponenziale00 base0 1191fu qq.ieespanancialesuccessione1 costante19 Oscilla19 ELa rappresentazione di un numero reale:Prendiamo IRXE docome 0,0293 OkIEaocomeSono solo Dart E4,5razionali IN8,92,3 6,70,1numeri delineateessendo ne menoLÌ effe LXkIuewII r.ioao t oaPossiamo diredunque che IÌ InIà IàdoXanè poichecrescenteXua Ante EDER30 INtieOesponenzialeIoneè

limitatab superiormenteXu ÈÈ È ItXu valore9Ea Oo massimodell'ultima cifraèNon saunauna geometricaKeodaessaancora penne portaÈÈ È te10Duque Eao 9al I71109a 9 11e do 010kit IÌ 1 aa aee 10101 faiQ 9 aa 111E 0 104 percio Xu E 1Osserviamo aQClea E 1 10 no0HubInfatti 15line a 1a 1Il numero e: 3live Idel di sualeesso 00è perfrutto fNel 1 ne INcomea n Èfb KENguy piùacome rapidaeconvergeneifaZuC con KEN rapidaancoraconvergeTeoremi vari sulle successioni convergenti:Teorema: successioni convergenti e combinazioni linearisiano successioni tali chefu duee qu convergenti00nperfu g e gqu Xline Xf MENfu MgMgm00Ricorda èche sauna manon maquesta unacambi maliane lineareTeorema: successioni convergenti e prodotto/quozientesiano successioni tali chefu duee qu convergenti00nperfu g e gqufugaline 1g00alive fa gia gucan gtofg4 00Proposizione: successioni in nitesime limitatafusia successione successioneeuna

una successione allora è infinitesima fuga una infinitesima Dine da non sapere usual 17 le 7M tween O limitata fatefu KEteso Ignuntu tweene infinitesimaqu 1 0me poi infinitesima I MEMI I MEqui I EquiE fullfullpugni qui HE EIN te Cainemax con mè Quindi arbitrarietà di pur E essere acue può la è verificata proposizione medesima banalmente la laè definivano e o infinitesima V tù Igntu un E 010 Ee fu en Teorema di Monotonia: siano successioni tali che fu due e qu convergenti 00 fu perg e qu g I limiti conservaleo diseguaglianze Se tu EN fa allora E gaggu IDine then V'E FILEfufu INf 7nFoIo IV'E thenIN gleeo 7nFggu guE Effufse Duque le ao E IEgquagma Eefu fperciò Espn ggu gu Infine dimostra E2fche ft Teorema di Permanenza del segno sia successione fu fu funa per noto convergente KUEN se allora ofu 170 monotonia 0 E il Dirle teorema di fui piu limeline OeffuE0 successione 4 470000 costante Teorema del confronto: siano un tali successioni fu 3 che gu convergenti Un seefu le 00g

pergiise allora enuefa e leque 00perqugHE Infinite Kufae KEfu fu eoft i HE Yuenha Intinte Unline e KEEoi 2 2Le 00Prendo vi Cutlerdunque max Elennu lEssendo EEE Egualifa fuqueV'E te tuenzieDuque LICEIN Igno eline In g4 tooSuccessioni divergenti e forme di indeterminazione:Ricordiamo èsuccessione qualunqueunadivergenteche una tipiDatosuccessione ate 00in in cese00 FIF00QI 0000 000 00IIFI 000 F I0000A F I IF00100 1I 100 F00 00 F IIO1De nizioni: Successioni in nite ed in nitesimeinfinite da ao00 apminfinitesime oan tooleperOss!: funzioni in nte/in nitesime e rapportisu infinitedee dianao infinita ordine superioreleto dian oraba infiniti con gr7 one infinita di ordine inferiore0su infinitesimeOhe di ordineinfinitesimaduao ingÈ leto dian infinitesimiba ora con gr7 di ordinean infinitesima super0 èOss!: ordine di in niti e successioni nalogan faline 10 aOmati 00 lei nmaline Ha 1a00A00nEsempio: mail.eu eFoÈemuntu eoline 00viDe nizione: equivalenza asintotica

equivalenzaiper basta assodare 3dimostrarlo pensiQu deiieline 11 1Riflessiva 00ale too an È fSimmetrica LILLI2 line 1 1perciòbaloalinea3 Transitiva e È IIIbaao mail.iocinese an bel 1line 1 1mistero bce con00Teorema: l’eguaglianza asintotica e le operazionise banon allorafa e vistagun peeameba fuga opel non puòpassoEun fa colorisommare00npelba gaFormula di Stirling e considerazioni:Fièu n aolepernOss 1!: n (successioni totali) ilindicala successionisuccessione din numeroKlandoveXf 00tanto 1mex n'èf 0 1solocea1 III successioni44b 4 imagine3 4 possibilicontraiumaginid4 leiOss 2!: n! (successioni invertibili) il anniindica disuccessionela successinumerouinceribili dove INX Xf uOss 3!: n /n! (probabilità)n lail è chese altroprendiamo nonprobabil tàra