Soluzione Matematica Seconda Prova Maturità 2017, Traccia Liceo scientifico

[math]E = \int_0^1{x e^x dx}[/math]

[math]\int_0^1{x^2 e^x dx} = e-2E[/math]

[math]\int{x^2 e^x dx} = x^2 e^x - 2\int{x e^x dx}[/math]

[math]\int_0^1{x^2 e^x dx} = \left[x^2 e^x - 2\int{x e^x dx}\right]_0^1 = \left[x^2 e^x\right]_0^1 -2\int_0^1{x e^x dx} =[/math]

[math]= [1 \cdot e - 0 \cdot 1] - 2E = \boxed{e-2E}[/math]

[math]\int_0^1{x^3 e^x dx}[/math]

[math]\int{x^3 e^x dx} = x^3 e^x - 3\int{x^2 e^x dx}[/math]

[math]\int_0^1{x^2 e^x dx} = \left[x^3 e^x - 3\int{x^2 e^x dx}\right]_0^1 = \left[x^3 e^x\right]_0^1 -3\int_0^1{x^2 e^x dx} =[/math]

[math]= [1 \cdot e - 0 \cdot 1] - 3(e-2E) = e-2E = e-3e+6E = \boxed{6E-2e}[/math]

[math]f(x)=\sqrt{r^2-x^2}\\
g(x)=k\:,\quad 0

Dalla formula del volume del solido di rotazione si ha:

Si vuole mostrare che

. Dunque:

Infatti:

Quesito 3

Procedendo per sostituzione nel limite:

Quindi il numeratore deve risultare infinitesimo per

Otteniamo:

Applicando il teorema di de l'Hospital si ottiene:

Quesito 4

Il valore medio dei numeri generati si trova tramite formula per calcolare il valore atteso di un evento data la distribuzione di probabilità

:

La probabilità che il primo numero estratto sia

, invece, è una probabilità del tipo , che è nulla nel caso di variabili casuali continue: .

Infine, per calcolare la probabilità che il secondo numero estratto sia minore di 1, definiamo

.

Noi però vogliamo che il secondo numero estratto sia minore di (e non minore o uguale!); ma poiché

, si avrà che

e quindi .

Quesito 5

Abbiamo i punti

, , .

Calcoliamo l'equazione della retta per A e B in forma parametrica con la formula

La direzione della retta per AB è dunque individuata dal vettore

.

Calcoliamo ora l'equazione del piano

perpendicolare alla retta trovata.

Sappiamo in generale che, se

è l'equazione di un piano, il vettore dei coefficienti (a,b,c) individua la direzione perpendicolare a tutti i vettori appartenenti al piano stesso. Quindi nel nostro caso il piano avrà equazione .

Per trovare la costante

imponiamo il passaggio del piano per il punto : sostituiamo le sue coordinate ed otteniamo:

Quindi l'equazione del piano cercata è

.

Quesito 6

Applicando il teorema di de L'Hospital si ottiene:

Applicando di nuovo il teorema:

avendo posto

per garantire l'esistenza. Notiamo la presenza del limite notevole se . Si ottiene:

Dunque la risposta è

Quesito 7

I centri appartengono alla retta passante in P ortogonale al piano

. Considerando che il vettore direttore del piano ha componenti , si può scrivere l'equazione della retta :

Ora per determinare

e occorre trovare i due punti appartenenti ad che distano dal punto P:

Dunque si hanno le soluzioni:

Quesito 8

Per definizione, la somma di tutte le probabilità di ciascuna faccia dev'essere 1. La probabilità che esca la faccia 3 dev'essere doppia rispetto alle altre. Chiamata

la generica probabilità che esca la faccia numero n, si ha per , . Dunque la somma diventa:

da cui

Calcolare la probabilità che in 5 lanci esca la faccia numero 3 ALMENO due volte. È più agevole calcolare la probabilità dell'evento complementare, cioè quella dell'evento E_1: ''In 5 lanci del dado la faccia numero 3 esce al massimo 1 volta''. Si ha:

Tenendo presente che

dove p è la probabilità che l'evento avvenga, e q=1-p è la probabilità dell'evento complementare, otteniamo:

con

e

Infine:

Quesito 9

Per dimostrare che l'equazione

ammette un'unica soluzione reale studiamo la funzione

Essa ha come dominio tutto l'insieme

, ed è continua in tutto il suo dominio.

Studiamo il segno della sua derivata prima:

(perché è una somma con tutti addendi positivi), quindi

è strettamente crescente in tutto .

Inoltre si ha che:

quindi la funzione, continua e strettamente crescente, assume sia valori positivi che negativi e dunque deve avere necessariamente uno zero (che è unico perché è strettamente monotona).

Quesito 10

Il teorema di Rolle afferma che, se

è continua in , derivabile in e tale che , allora esiste almeno un punto tale che .

Vediamo se nell'intervallo

le ipotesi del teorema sono verificate per la nostra funzione :

1)

è continua in , in quanto composizione di funzioni continue (il polinomio e la funzione modulo)

2)

, infatti:

3)

è non è però derivabile in : infatti, sappiamo che la funzione non è derivabile se il suo argomento si annulla (perché i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale, anche se esistono, sono diversi). Nel nostro caso, l'argomento è , che si annulla se e solo se:

Quindi gli unici punti di non derivabilità di

(che saranno punti angolosi) sono (negli altri punti è derivabile perché la sua derivata è continua per ).

Esiste comunque un punto in cui

si annulla, e lo si vede dalla forma di :

Questo esempio comunque non contraddice il Teorema di Rolle, perché quest'ultimo ci garantisce delle condizioni \emph{sufficienti}, ma non necessarie! Se valgono le tre ipotesi, allora esiste almeno un punto in cui la derivata si annulla; ma se le tre ipotesi non valgono, può comunque esistere un punto in cui la derivata si annulla (va visto caso per caso).

Per ogni informazione, dubbio o problema, ecco i nostri recapiti:

via mail: redazione@skuola.net
tramite WhatsApp al numero 3938025594
via Twitter @skuolanet
via Facebook

Non aspettate quindi altro tempo…seguite su Skuola.net la Maturità 2017 sulla seconda prova di maturità di Matematica, come avete fatto il 21 giugno in occasione della prima prova di Maturità del 2017!