Documenti didattici di Matematica

Svolgimento: sostituendo -x=y si ha lim_{xto 0}(ln(1-x))/x=lim_{yto 0}(ln(1+y))/(-y)=lim_{yto 0}-((ln(1+y))/y)=-1 . In questo ultimo passaggio è stato utilizzato il limite notevole lim_{zto 0}(ln(1+z))/z=1

Svolgimento: y=1/(sqrt(x^3))=x^(-3/2) Ora procediamo a calcolare la derivata seguendo la normale regola di derivazione Essendo y=x^(-3/2)=>y'=-3/2*x^(-3/2-1)=-3/2*x^(-5/2)=3/(2(sqrt(x^5))) .

Svolgimento: Scomponendo otteniamo sqrt(a^2(b^2-16))=sqrt(a^2(b-4)(b+4)) Ora dobbiamo distinguere due casi: 1)se a=0 , per la legge di annullamento del prodotto, il radicando è zero quindi il radicale esiste ed è zero anch'esso. 2)se a!=0=>a^2&g

Svolgimento: Moltiplichiamo numeratore e denominatore per sqrt(1+cosx) . cosi otteniamo (sqrt(1-(cosx)^2))/(xsqrt(1+cosx)) cioè, (sqrt(sinx)^2)/(xsqrt(1+cosx)) Essendo (sqrt(sinx)^2)=|sinx| si ha lim_{xto 0^-}(|sinx|)/(xsqrt(1+cosx))=lim_{xto...

Svolgimento: 2(sen(2x)+3)-1=3(1-sen(2x))+2 ; 2sen(2x)+6-1=3-3sen(2x)+2 ; 2sen(2x)+3sen(2x)=-6+1+3+2 ; 5sen(2x)=0 ; sen(2x)=0=>2x=kpi=>x=k(pi)/2 .

Svolgimento: 5^(2x-1)=4+5^(x-1)=(5^(2x))/5=4+(5^(x))/5=5^(2x)=20+5^x Sostituiamo t=5^x , in modo da ottenere un equazione di secondo grado in t t^2-t-20=0 Le soluzioni di tale equazione sono: t_1=5,t_2=-4 (noi considereremo solo t_1 , poic...

Svolgimento: lim_{xto +infty}(x^2+3x+1)/(1-2x)=lim_{xto +infty}(x(x^+3+1/x))/(x(1/x-2)) semplificando la x , il numeratore dà  +infty mentre a denominatore si ottiene -2 perciò lim_{xto +infty}(x^2+3x+1)/(1-2x)=(+infty)/(-2)=-infty .

Svolgimento: (sqrt5-1)/(sqrt(5-sqrt5))*sqrt((5-sqrt(15))/(10))*sqrt((15)/2)= =(sqrt5-1)*(sqrt(1/(5-sqrt5)*(5-sqrt5)/(10)*(15)/2))= =(sqrt5-1)*sqrt(3/4)=(sqrt5-1)*sqrt3/2=(sqrt(15)-sqrt3)/2 .

Svolgimento: y=1/sqrt(1+x^2)=(1+x^2)^(-1/2) Possiamo quindi considerare la derivata della funzione y=(1+x^2)^(-1/2) y'=(-1/2)[(1+x^2)^(-3/2)]*2x (Abbiamo derivato anche la funzione nella parentesi) Semplificando otteniamo y'=-(x/((1+x^2)sqrt(1...

Svolgimento: lim_{xto+infty}((2x^4+2x^3)/(2(1+x)^2(1+x^2)))= =lim_{xto+infty}((2x^4(1+1/x))/(2x^4[(1/x+1)^2(1/x^2+1)]))~~lim_{xto+infty}(2x^4)/(2*x^2*x^2)= =lim_{xto+infty}(2x^4)/(2x^4)=1 .

Svolgimento: La funzione da derivare è f(x)=1+sqrtx , la derivata è f'(x)=(1/2)*x^(-1/2)=1/(2sqrtx) Adesso possiamo calcolare quanto vale la derivata nel punto x=4 f'(4)=1/(2*2)=1/4 .

Svolgimento: Per sostituzione poniamo y=2^x e risolviamo l'equazione di secono grado in y y^2+y-6=0 Le soluzioni sono y_1=-3,y_2=2 Essendo y=2^x sicuramente y>0 e quindi prendiamo in considerazione solo y_2=2 . Pertanto si ha y=2^x=2=&...

Un ciclista partecipa a una gara in quattro tappe. Nella prima tappa percorre i 5/(12) dell'intero percorso, nella seconda i 7/(20) nella terza 1/6 . Quale frazione rappresenta la quarta tappa? Svolgimento: Il percorso totale à

Svolgimento: Sia S la somma della serie indicata. Allora S=-2sum_(k=1)^(infty)(-1/4)^k=-2*(1/(1+1/4)-1)=2/5 .

Problema di aritmetica coi numeri e la virgola

Svolgimento: ((sqrt(12)-sqrt6)/(sqrt(12)+sqrt6))^2 Semplificando per sqrt6 essa diventa ((sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1))^2 Razzionalizzando, infine, si ottiene (sqrt(2)-1)^4=17-12sqrt2 .

Svolgimento: 3x^2(x+1)-6(x^3+x^2-1/2x)+3x(x^2-1)= 3x^3+3x^2-6x^3-6x^2+3x+3x^3-3x= Raccogliendo e semplificando (3+3-6)x^3+(3-6)x^2+(3-3)x=-3x^2

Svolgimento: (xy-2)(xy+2)-7x^2+14y^2-x^2y^2-17= x^2y^2-4-7x^2+14y^2-x^2y^2-17= Semplificando -7x^2+14y^2-21=-7(x^2+2y^2-3) .

Svolgimento: Ricordando che e^x=1+x+x^2/(2!)+o(x^2) sinx=x+o(x^2) e applicando queste formule al caso nostro otteniamo e^x^2=1+x^2+x^4/(2!)+o(x^4) sin(2x^4)=2x^4+o(x^4) . Inserendo queste formule nel limite iniziale si ha lim_{xto 0}(1+x^2+...

Svolgimento: lim_{xto infty}(1/3)^x=lim_{xto infty}(1/3^(infty))=1/(infty)=0 .