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Goniometria

La goniometria è la branca della matematica che si occupa della misura degli angoli. La trigonometria si occupa invece delle relazioni che legano le misure dei lati di un triangolo a quelle dei suoi angoli. Un angolo è una parte di piano compresa tra due semirette aventi la stessa origine. L'origine prende il nome di vertice dell'angolo. L'unità di misura degli angoli usata abitualmente è il grado (indicato con 〫), definito come la 360esima parte dell'angolo giro. Per le applicazioni scientifiche viene utilizzata anche un'altra unità di misura detta radiante.
Si chiama Angolo Radiante (n∏), l'angolo al centro di una circonferenza di raggio arbitrario che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio stesso.
L'ampiezza di un angolo espressa in radianti si calcola dividendo la lunghezza dell'arco corrispondente per il raggio:

ampiezza di un angolo in radianti = lunghezza dell'arco / r

Quindi l'angolo giro, che sottende l'intera circonferenza in radianti sarà: 2∏r / r = 2∏

angolo piatto: 2∏r /2/r = ∏
angolo retto: 2∏r /4/r = 1/2∏

Per esprimere l'ampiezza di un angolo dato in gradi, nell'unità radianti o viceversa si utilizza la seguente proporzione:
alfa gradi : alfa radianti = 180 〫 : ∏

Si può considerare l'angolo da due diversi punti di vista:
• in modo statico, come quella parte di piano compresa tra due semirette aventi la stessa origine.
• in modo dinamico, come la parte di piano descritta dalla rotazione che compie una semiretta attorno alla sua origine a partire da una posizione iniziale
Un angolo si dice orientato quando viene segnato come lato iniziale uno dei due lati ed è stabilito un verso di rotazione: viene assegnato il segno positivo al verso antiorario e il segno negativo a quello orario.
Introducendo nel piano un sistema di riferimento cartesiano, consideriamo un angolo in posizione normale quando il suo vertice coincide con l'origine, il suo lato iniziale coincide con il semiasse positivo delle ascisse (x) e si assume come positivo il verso antiorario.
Si chiama circonferenza goniometria una circonferenza con centro nell'origine e raggio unitario.

x (ampiezza di un angolo in posizione normale, espressa in radianti) è un qualunque numero reale.
P è il punto in cui, il lato finale dell'angolo di ampiezza x, interseca con la circonferenza goniometria.

L'ascissa e l'ordinata del punto P variano in funzione di x.
Verrà indicato con cosx l'ascissa del punto P e con senx l'ordinata del punto P.

cosx = ascissa di P
senx = ordinata di P

Sia l'ascissa sia l'ordinata del punto P variano da -1 a +1, perché P appartiene alla circonferenza goniometrica.

Quindi:
-1 ≤ cosx ≤ +1
-1 ≤ senx ≤+1

Relazione fondamentale tra seno e coseno che vale per qualsiasi valore di x:
cos²x + sen²x = 1

Dalla relazione fondamentale tra seno e coseno è possibile ricavare altre due formule:
senx = ±√1-cos²x
cosx =±√1-sen²x

CASI PARTICOLARI:
I. Angoli il cui lato finale coincide con uno dei semiassi
Quando l'ampiezza dell'angolo è un multiplo di ∏/2 (angolo retto), il lato finale dell'angolo coincide con il uno dei semiassi; in tali casi il seno e coseno è uguale a 0; l'altro valore è -1 oppure +1.

ampiezza 0
cos 0 = 1
sen 0 = 0

ampiezza ∏/2
cos ∏/2 = 0
sen ∏/2 = 1

ampiezza ∏
cos ∏ = -1
sen ∏ = 0

ampiezza 3/2∏
cos 3/2∏ = 0
sen 3/2∏ = -1

II. Angoli che danno luogo ad un triangolo rettangolo isoscele
Quando l'ampiezza dell'angolo è multipla di ∏/4 (45 gradi) (ma non di ∏/2), si viene a determinare un triangolo isoscele, di ipotenusa 1.
I due cateti essendo uguali misurano entrambi √2∕2.
Il seno e il coseno, in valore assoluto, sono √2∕2.

ampiezza ∏ / 4
cos ∏/4 = √2∕2
sen ∏/4 = √2∕2

ampiezza 3/4 ∏
cos 3/4∏ = -√2∕2
sen 3/4∏ = √2∕2

ampiezza 5/4 ∏
cos 5/4∏ = -√2∕2
sen 5/4∏ = -√2∕2

ampiezza 7/4 ∏
cos 7/4∏ = √2∕2
sen 7/4∏ = -√2∕2

III. Angoli che danno luogo a un triangolo 30 〫 60 〫 90 〫 (rettangolo)
Quando l'ampiezza dell'angolo è multipla di ∏∕6 (30 〫) (ma non di ∏∕2), si viene a determinare un triangolo rettangolo di angoli 30 〫 60 〫 90 〫
Il cateto opposto all'angolo di 30 〫 , cioè ∏/6, misura 1/2; il cateto opposto all'angolo di 60 〫, cioè ∏/3, misura √3 /2.
In valore assoluto 1/2 e √3 /2 sono i valori di seno e coseno di tali angoli.

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