Disequazioni goniometriche - Strategie risolutive ed esempi

In questo appunto vengono descritte in modo approfondito le disequazioni goniometriche sia elementari che complesse, vengono inoltre proposti i metodi risolutivi algebrici e grafici e vengono riportati alcuni esempi.

Disequazioni goniometriche elementari

Le disequazioni goniometriche elementari si presentano con una funzione goniometrica posta maggiore, minore, maggiore o uguale, minore o uguale a un numero reale; le disequazioni goniometriche elementari, quindi, possono essere di questi tipi:

In alcuni casi, queste disequazioni possono essere risolte immediatamente; infatti, considerando che il seno e il coseno di un angolo sono sempre compresi tra -1 e 1, possiamo affermare che:

• le disequazioni del tipo (sin x sempre soddisfatte;
• le disequazioni del tipo (sin x non sono mai soddisfatte.

Negli altri casi, possiamo risolvere le disequazioni facendo riferimento alla circonferenza goniometrica, e studiando le varie parti della circonferenza che vengono individuate dall'angolo in questione.

Esempio:
Risolviamo la seguente disequazione elementare:

Sappiamo che (

) è l'ordinata dell'estremo dell'arco corrispondente all'angolo di ampiezza

, sulla circonferenza goniometrica; risolvere la disequazione significa determinare tutti gli archi aventi ordinata maggiore di

.

Per prima cosa, consideriamo l'equazione associata (

); sappiamo che essa ha per soluzioni:

Le soluzioni della disequazione sono date da tutti i punti, sulla circonferenza goniometriche, che hanno ordinata maggiore delle ordinate dei punti P e Q; tali punti si trovano, quindi, al di sopra di questi punti, e gli angoli che li individuano appartengono al seguente intervallo, che costituisce le soluzioni della disequazione:

Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni goniometriche e sulle loro proprietà vedi anche qua

Disequazioni riconducibili a disequazioni elementari

Alcune disequazioni possono presentarsi in una forma più complessa, ma possono essere ricondotte, mediante raccoglimenti a fattore comune, o altre scomposizioni, a disequazioni elementari.

Vediamo un esempio:
Consideriamo la seguente disequazione:

Risolviamo, per prima cosa, l'equazione associata, e individuiamo i valori di (cos x) che soddisfano l'equazione:

Poiché la disequazione è maggiore di zero, essa è soddisfatta per valori esterni all'intervallo delle radici:

Ora, sappiamo che

è impossibile, quindi le soluzioni della disequazione sono date solo dalla seconda disequazione, che è una disequazione elementare; rappresentiamo la situazione sulla circonferenza goniometrica:

Notiamo che il coseno assume il valore

negli angoli

e

; gli angoli che soddisfano la disequazione sono quelli che individuano punti sulla circonferenza che hanno ascissa maggiore di

; le soluzioni della disequazione sono, quindi, date dal seguente intervallo:

Disequazioni lineari in seno e coseno

Le disequazioni lineari in seno e coseno si presentano in questa forma:

Possiamo risolvere questo tipo di equazioni in diversi modi; consideriamo, per il momento, la disequazione con il simbolo >; i ragionamenti fatti si possono applicare anche agli altri casi.

Risoluzione con il metodo grafico
Così come per le equazioni lineari, anche in questo caso si pone (sin x = Y) e (cos x = X), e si trovano le intersezioni della retta di equazione (aX + by + c = 0) con la circonferenza goniometrica.

Dopo aver determinato tali punti, si individuano i punti della circonferenza goniometrica che appartengono al semipiano (

); tali punti costituiscono le soluzioni della disequazione iniziale.

Risoluzione con i metodi algebrici
Per risolvere con metodi algebrici una disequazione lineare in seno e coseno, possiamo utilizzare due diverse strategie.

• Primo metodo: possiamo utilizzare le formule parametriche razionali, trasformando la disequazione in seno e coseno in una disequazione in (
  [math]t = tan \frac{x}{2}[/math]
  );
• Secondo metodo: possiamo trasformare il primo membro della disequazione nella forma:
  
  [math]A \cdot sin(x + \alpha) + B[/math]

  e risolvere poi la disequazione elementare che ne deriva.

Per ulteriori approfondimenti sul procedimento da seguire per risolvere una disequazione vedi anche qua