In quest'appunto sono contenute delle informazioni riguardanti la definizione algebrica e geometrica di retta, con esempi relativi al calcolo dell'equazione aventi due punti noti e un punto e il coefficiente angolare.
Come si definisce una retta dal punto di vista geometrico e algebrico
La retta è una degli enti fondamentali della geometria, insieme al punto e al piano.Dal punto di vista geometrico, essa può essere definita come una successione infinita di punti disposti nel piano o nello spazio lungo un'unica direzione.
E' possibile ricavare anche un'equazione analitica relativa alla retta grazie alla geometria analitica. Quest'ultima, infatti, è la branca della matematica che si occupa dello studio degli enti geometrici nel piano cartesiano.
L'equazione della retta può essere scritta in forma esplicita come
[math]y=mx+q[/math]
o in forma implicita come [math]ax+by+c=0[/math]
. La scelta della forma da utilizzare dipende dall'obiettivo da raggiungere. La forma implicita permette di calcolare velocemente il coefficiente angolare
[math]m[/math]
e di valutare l'intercetta. Il primo non è altro che un valore indicativo della pendenza della retta, mentre il secondo indica l'ordinata del punto di intersezione tra la retta e l'asse [math]y[/math]
. Per esempio nell'equazione [math]y=3x+2[/math]
, il coefficiente angolare [math]m[/math]
è [math]3[/math]
mentre l'intercetta è [math]2[/math]
.La forma implicita
[math]ax+by+c=0[/math]
, invece, presenta un polinomio di grado uno avente due incognite al primo membro. In questo caso è comunque possibile trovare il coefficiente angolare e l'intercetta, anche se il calcolo è meno immediato. In particolare il coefficiente angolare è calcolabile come [math]m=-\frac{a}{b}[/math]
mentre l'intercetta come [math]q=-\frac{c}{b}[/math]
. Quindi nel caso [math]2x+3y+4=0[/math]
si ha che [math]m=-\frac{2}{3}[/math]
e [math]q=-\frac{4}{3}[/math]
.
Come si calcola l'equazione di una retta passante per un punto noto il coefficiente angolare
E' possibile calcolare l'equazione di una retta avendo noti un punto e il coefficiente angolare[math]m[/math]
. La formula da utilizzare in questo caso è [math]m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \rightarrow y-y_1=m(x-x_1)[/math]
, dove [math]m[/math]
è il coefficiente angolare e [math](x_1,y_1)[/math]
è il punto noto.Se per esempio il coefficiente angolare
[math]m[/math]
è [math]3[/math]
e il punto è [math](2,3)[/math]
l'equazione della retta è [math]y-3=3(x-2) \rightarrow y-3=3x-6 \rightarrow y-3x+3=0[/math]
.
Come si calcola l'equazione di una retta passante per due punti
Un'altra strategia per il calcolo dell'equazione della retta prevede l'utilizzo di due punti noti. L'equazione in questo caso è[math]\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}[/math]
, dove [math](x_1,y_1),(x_2,y_2)[/math]
sono le coordinate dei due punti noti.Per esempio, se i punti sono
[math]A(2,3)[/math]
e [math]B(3,4)[/math]
si ha che [math]\frac{y-3}{4-3}=\frac{x-2}{3-2} \rightarrow \frac{y-3}{1}=\frac{x-2}{1} \rightarrow y-3=x-2 \rightarrow y=x+1[/math]
Esempio 1: come calcolare l'equazione di una retta passante per un punto noto il coefficiente angolare
Scrivere l'equazione della retta[math]r[/math]
passante per il punto [math](0;-\frac{1}{3})[/math]
e di coefficiente angolare [math]\frac{1}{4}[/math]
. Una volta definita l'equazione, disegnare la retta ottenuta.
Svolgimento
L'equazione[math]y-y_0=m(x-x_0)[/math]
rappresenta la retta passante per il punto [math](x_0;y_0)[/math]
e avente un assegnato coefficiente angolare [math]m[/math]
. Nel nostro caso [math]x_0=0, y_0=-\frac{1}{3}, m=\frac{1}{4}[/math]
. Sostituendo nell'equazione generale si ha:[math]y+1/3=1/4(x-0)[/math]
. Sviluppando e raccogliendo i termini simili
[math]y+\frac{1}{3}=\frac{1}{4x}[/math]
si può evincere che il minimo comune multiplo è [math]12[/math]
:[math]\frac{12y-3x+4}{12}=0[/math]
.Moltiplicando ambo i membri per
[math]12[/math]
e cambiando di segno, otteniamo [math]3x-12y-4=0[/math]
. Quest'ultima equazione rappresenta la retta passante per il punto [math](0;-\frac{1}{3})[/math]
e di coefficiente angolare [math]\frac{1}{4}[/math]
.
Per rappresentarla graficamente basta intersecare la retta con gli assi
[math]\begin{cases} 3x-12y-4=0 \\ x=0 \ \end{cases} \rightarrow {(-12y=4),(x=0):} \rightarrow {(y=-\frac{1}{3}),(x=0)}[/math]
[math]\begin{cases} 3x-12y-4=0 \\ y=0 \ \end{cases} \rightarrow {(3x=4),(y=0):} \rightarrow {(x=\frac{4}{3}),(y=0)}[/math]
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