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Sintesi
In quest'appunto di matematica troverai delle informazioni sul numero aureo e su alcune proprietà relative ad esso, come la conservazione della parte decimale nel suo quadrato e nel suo reciproco. Ulteriori informazioni sulle dimostrazioni sono presente nel file in allegato.
Cos'è il numero aureo e a cosa serve
In matematica ci sono diversi numeri importanti: basta pensare al
[math]\pi=3,14[/math]
o al numero di Nepero [math]e=2,71[/math]
. Un altro numero da aggiungere a questa lista è il numero aureo.Il numero aureo è in particolare un valore ottenuto attraverso una combinazione tra due valori,
[math]x[/math]
e [math]y[/math]
. Tali valori, tuttavia, devono sottostare a condizioni specifiche, ossia [math]x[/math]
deve essere maggiore di [math]y [/math]
e [math]x[/math]
dev'essere medio proporzionale della somma [math]x+y[/math]
. Per quest'ultimo motivo deve valere la proporzione:[math]\frac{y}{x}=\frac{x}{x+y}[/math]
[math]\rightarrow 1+\frac{y}{x}=\frac{x}{y}[/math]
Operiamo il cambio di variabile
[math]\frac{x}{y}=\phi[/math]
da cui discende[math]1+\frac{y}{x}=\frac{x}{y}\rightarrow 1+\frac{1}{\phi}=\phi[/math]
.Moltiplichiamo per
[math]\phi[/math]
primo e secondo membro e otteniamo [math]\phi^2-\phi+1=0[/math]
.Il numero aureo sarà la soluzione di questa equazione di secondo grado. Per cui calcoliamo il delta
[math]\delta=b^2-4ac=1+4=5[/math]
e [math]\phi=\frac{1\pm \sqrt5}{2}[/math]
. Il numero aureo è un numero positivo, quindi solo la soluzione positiva può essere accettata, ossia [math]\frac{1+\sqrt 5}{2}=1,61[/math]
.Qual è la prima proprietà fondamentale del numero aureo con dimostrazione
Il numero aureo presenta due proprietà, cioè:
- il quadrato del numero aureo presenta la stessa parte decimale del numero aureo
- il reciproco del numero aureo possiede la stessa parte decimale del numero aureo
entrambe le proprietà possono essere giustificate dal fatto che il numero aureo appartiene a due serie specifiche, cioè una particolare somma di termini.
Per validare la prima qualità, infatti, è necessario dimostrare l'appartenenza del numero aureo alla serie
[math]S_n=\frac{1+\sqrt{4n+1}}{2}[/math]
, per ogni [math]n[/math]
appartenente all'insieme dei numeri naturali. Per la seconda, invece, bisogna dimostrare che il numero aureo fa parte della serie [math]S_n=\frac{\pm n \pm \sqrt {n^2+4}}{2}[/math]
, per ogni [math]n[/math]
appartenente all'insieme dei numeri naturali. Partiamo dalla prima proprietà.Portiamo al quadrato il termine
[math]\frac{1+\sqrt{4n+1}}{2}[/math]
per ottenere [math]\frac{1+\sqrt{4n+1}}{2}+n[/math]
. Essendo [math]n[/math]
un numero naturale, si evince che i termini hanno la stessa parte decimale, in quanto:[math](\frac{1+\sqrt{4n+1}}{2})^2=\frac{(1+4n+1+2\sqrt{4n+1})}{4}=\frac{2+2\sqrt{4n+1}+4n}{4}=\frac{1+\sqrt{4n+1}}{2}+n[/math]
.Per cui vale, a valle dei calcoli:
[math](\frac{(1+\sqrt{4n+1}}{2})^2=\frac{(1+\sqrt{4n+1})}{2}+n[/math]
. Per scrivere la prima serie bisogna considerare che [math]\sqrt{x}^2=\sqrt {x}+n [/math]
. Si può ottenere la serie svolgendo i seguenti passaggi matematici (considerando che il dominio del cambio di variabile è
[math]y[/math]
maggiore o uguale a 0):[math]x-\sqrt{x}-n=0[/math]
[math]\sqrt{x}=y \rightarrow y^2-y-n=0[/math]
[math]y=\frac{1\pm\sqrt{4n+1}}{2}[/math]
Dato il dominio di
[math]y[/math]
, l'unica soluzione accettabile è [math]y=\frac{1+\sqrt{4n+1}}{2}[/math]
.Qual è la seconda proprietà fondamentale del numero aureo
Valutiamo il caso
[math]\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}[/math]
.Razionalizziamo il reciproco attraverso i seguenti passaggi:
[math]\frac{2}{n+\sqrt{n^2+4}}[/math]
[math]\frac{2(n-\sqrt{n^2+4}}{n^2-n^2-4}[/math]
da cui
[math]\frac{-n+\sqrt{n^2+4}}{2}[/math]
poiché
[math]n[/math]
è un numero naturale, si evince che i due numeri [math]\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}[/math]
,[math]\frac{-n+\sqrt{n^2+4}}{2}[/math]
abbiano la stessa parte decimale e che quindi
[math]\frac{2}{n+\sqrt{n^2+4}}=\frac{-n+\sqrt{n^2+4}}{2}[/math]
La seconda serie può essere definita a partire da questa condizione
[math]\frac{1}{\sqrt{x}}=\pm \sqrt{x}[/math]
attraverso i seguenti passaggi:[math]\frac{1}{\sqrt {x}}\pm \sqrt{x}-n=0[/math]
[math]\pm \sqrt{x}=y[/math]
[math]\frac{1}{\pm y} \pm y - n=0[/math]
[math]y^2 \pm ny - 1=0[/math]
[math]y=\frac{\pm n \pm \sqrt{n^2+4}}{2}[/math]
E' possibile ottenere il numero aureo da entrambe le serie effettuando i calcoli ponendo la condizione
[math]n=1[/math]
. Nell'ultima pagina del file in allegato potrai valutare 10 esempi (effettuati utilizzando i primi numeri naturali al posto di [math]n[/math]
) relativi sia alla prima che alla seconda serie.Per ulteriori approfondimenti sul numero aureo vedi anche qua
Estratto del documento
NUMERO AUREO E CONSERVAZIONE DELLA PARTE
DECIMALE
INTRODUZIONE
Il seguente articolo descrive la natura di alcune proprietà legate al numero aureo.
DESCRIZIONE
Tra i numeri più famosi della matematica c’è il numero aureo (1+√5)/2 = 1,6180339… il quale
possiede numerose proprietà tra cui:
il quadrato e il reciproco conservano la stessa parte decimale.
2
Proprietà 1: 1,6180339… = 2,6180339…
Proprietà 2: 1 / 1,6180339… = 0,6180339…
In realtà, la prima proprietà è giustificata dal fatto che il numero aureo appartiene ad una serie di cui
ogni termine ne privilegia: ∀n∈N
S = (1+√4n+1)/2
n
Stesso discorso per la seconda proprietà, giustificata dal fatto che il numero aureo appartiene alla
serie: 2
±√n ∀n∈N
= (± n +4)/2
S
n
DIMOSTRAZIONE
prima proprietà
Elevando al quadrato il termine (1+√4n+1)/2 otteniamo (1+√4n+1)/2 + n, essendo n un numero
naturale, si evince facilmente che entrambi i termini possiedono la stessa parte decimale.
2
[(1+√4n+1)/2] = (1 + 4n + 1 + 2√4n+1) / 4 = (2+2√4n+1 + 4n)/4 = (1+√4n+1)/2 + n.
2
[(1+√4n+1)/2] = (1+√4n+1)/2 + n
La prima serie nasce dall’impostazione della seguente relazione:
2 √x ∀n∈N
[√x ] = + n
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