Fascino del numero d'oro

Liceo scientifico

“Enrico Fermi”

Cecina

Anno scolastico 2010/2011

La sezione aurea

Equilibrio e Bellezza

“Il fascino del “numero d’oro”

“Uomo Vitruviano” –

1490 Leonardo

da Vinci Federico Betti

Classe V sez. A

«La geometria possiede due grandi tesori: uno è il teorema di

Pitagora; l’altro è la divisione di una linea secondo il rapporto

estremo e medio. Possiamo paragonare il primo a una certa quantità

d’oro, e definire il secondo una pietra preziosa».

Keplero

Discipline coinvolte:

Matematica

Geometria

Geografia astronomica

Storia dell’arte

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Premessa

La distribuzione dei petali in una rosa, l’armoniosa spirale di alcune conchiglie e quella dell’intera

galassia, la stella a cinque punte che disegnano i bambini e il celeberrimo Partenone di Atene sono

tutti legati dallo stesso meraviglioso numero irrazionale, φ (phi) meglio conosciuto come “sezione

aurea”. Non esprimibile con una frazione, caratterizzato da una serie infinita di numeri decimali che

si ripetono in maniera apparentemente casuale 1,6180…, indicato fin dall’antichità appunto con la

lettera greca φ, ha una proprietà particolare che affascina gli studiosi e gli artisti da migliaia di anni.

Il rapporto proporzionale dal quale deriva ha la misteriosa proprietà di imprimere un senso di

bellezza e armonia a qualsiasi cosa e in qualsiasi campo venga applicato.

La scelta di questo tema per lo svolgimento del mio percorso interdisciplinare nasce in primo luogo

dal mio personale interesse verso la matematica. Nel cercare la connessione dell’argomento di

carattere matematico con le altre discipline che ho studiato in questi anni, ho pensato di

approfondire lo studio del numero d’oro che, già da qualche anno, aveva cominciato ad

incuriosirmi. Ne ho poi trovato esplicito riferimento studiando la successione di Fibonacci e questo

mi ha ulteriormente convinto ed interessato.

Notevoli sono le proprietà che la Sezione Aurea e la successione di Fibonacci dimostrano, infatti, di

possedere dal punto di vista matematico-geometrico. Ma ancora più interessante e appassionante è

φ,

stato riuscire a rintracciare il numero aureo, in campi apparentemente distanti dalla scienza dei

numeri, come la pittura e l’architettura, in un mistero che avvolge la natura stessa. Sono quindi

riuscito a collegare l’argomento prettamente matematico, oltre che a materie scientifiche, come la

geometria e la geografia astronomica, anche alla storia dell’arte.

La cosa affascinante, meravigliosa e misteriosa che sta dietro la sezione aurea è appunto come un

numero irrazionale e infinito, quindi da sempre “antipatico” ai matematici, riesca a generare

bellezza e armonia che sono sempre accompagnate invece dal concetto di definito e proporzionato.

Il rapporto aureo è legato fin dall’antichità ai massimi canoni della bellezza umana, dell’equilibrio e

dell’armonia fra le parti in architettura, scultura e pittura. Diversamente dal mondo attuale, in cui la

cultura dell’immagine impone canoni di bellezza seriali e replicabili, il mondo antico ha sempre

cercato di individuare criteri di valutazione artistica che sottraessero il giudizio del “bello” alla sfera

dell’opinabile e lo ancorassero a elementi concreti, oggettivi e visibili. Tali elementi furono

identificati nella proporzione matematica fra il tutto e le sue parti, meglio nota come rapporto aureo

o “divina proporzione”. Il rapporto aureo, infatti, pur essendo definito matematicamente, ha la

capacità, se applicato ad oggetti in grado di stimolare i sensi, di renderli piacevolmente armoniosi.

Sin dai tempi più antichi, questa proporzione divina (o, appunto, sezione aurea) è stata presa in

considerazione per ottenere una dimensione armonica delle cose. Dalla geometria all'architettura,

dalla pittura alla natura del “creato” possiamo quindi osservare come tale rappresentazione

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corrisponda ad un rapporto che è stato definito pari a 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365

63811… (numero d'oro).

In matematica, infatti, che non è solo formule e calcoli, esiste un piccolo gruppo di numeri

particolari che ricorrono spesso, attirando la nostra attenzione e risvegliando la nostra curiosità. Il

più noto di questi è il π (pi greco), pari al rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio

qualsiasi. φ

Meno noto di “pi greco” è (phi), un numero per molti versi ancora più misterioso.

Questo numero, che prende il nome dall’iniziale del nome del grande scultore Fidia, può sembrare

strano, ma è condiviso in varie realtà disparate ed è definito con parole che alludono all’oro, al

nobile, al prezioso: «numero aureo», «rapporto aureo» e «sezione aurea».

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La sezione aurea, Φ

La Sezione Aurea conosciuta fin dall’antichità e durante i secoli, come ho già detto, è stata indicata

con nomi che rimandano all’oro, simbolo di quanto di più nobile, prezioso e inalterabile possa

esistere: «rapporto aureo», «sezione aurea», «numero d’oro».

Storicamente la prima chiara definizione venne formulata da Euclide. Il matematico greco,

Elementi

fondatore della geometria in quanto sistema deduttivo, nel VI libro dei suoi scrive:

«Si può dire che una linea retta sia stata divisa secondo la proporzione estrema

e media quando l’intera linea sta alla parte maggiore così come la maggiore

sta alla minore».

Ne deriva quindi (in base alla figura) che il rapporto tra l’intera “linea retta” AB e il segmento

maggiore AC è uguale al rapporto tra segmento maggiore AC e segmento minore CB.

AB/AC=AC/CB

Scegliendo come unità di misura il segmento più breve (CB=1) e indicando il segmento maggiore

x

con (in quanto x è un fattore sconosciuto, che sappiamo essere maggiore di 1), possiamo dire che

x x x.

sta ad 1 come + 1 sta ad

x /1 = (x + 1)/x x

Risolvendo l’equazione rispetto ad si ottiene l’equazione di secondo grado:

x x

2 - - 1 = 0

x x

Le due soluzioni , dell’equazione sono:

1 2

x

La soluzione positiva = (1 + √5) / 2 è quella che fornisce il valore del cosiddetto “rapporto

1

aureo”: 1,6180339887…, privo di sequenze ripetitive nelle sue infinite cifre decimali.

E' facile, a questo punto, costatare che Φ è irrazionale, essendo semplicemente la metà della somma

di 1 e della radice quadrata di 5. 5

Prima ancora di procedere, potete convincervi del fatto che questo numero ha davvero delle

proprietà singolari utilizzando una semplice calcolatrice tascabile. Digitate 1,6180339887... e

premete il tasto per elevare al quadrato (x2). Non notate niente di singolare? Ora digitate la stessa

sequenza di cifre, e premete il pulsante della divisione (1/x). Curioso, vero? Il quadrato di

1,6180339887... è 2,6180339887..., mentre il suo reciproco (1/1,6180339887...) è 0,6180339887...

Le cifre dopo il punto decimale sono esattamente le stesse! Il rapporto aureo è l'unico numero non

naturale il cui reciproco e il cui quadrato mantengono inalterata la propria parte decimale:

Il rapporto aureo, ed esso solo, ha la caratteristica di avere un quadrato uguale a se stesso più uno ed

un reciproco uguale e se stesso meno uno.

Per inciso, la soluzione negativa dell'equazione x2 = (1 - √5) / 2 è pari al negativo di 1/Φ.

L'irrazionalità di phi, cioè l'impossibilità di essere espressa compiutamente mediante una frazione, è

una tra le sue caratteristiche tipiche e singolari, che viene direttamente dimostrata dalla sua formula

generatrice: