Fascino del numero d'oro

corrisponda ad un rapporto che è stato definito pari a 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365

63811… (numero d'oro).

In matematica, infatti, che non è solo formule e calcoli, esiste un piccolo gruppo di numeri

particolari che ricorrono spesso, attirando la nostra attenzione e risvegliando la nostra curiosità. Il

più noto di questi è il π (pi greco), pari al rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio

qualsiasi. φ

Meno noto di “pi greco” è (phi), un numero per molti versi ancora più misterioso.

Questo numero, che prende il nome dall’iniziale del nome del grande scultore Fidia, può sembrare

strano, ma è condiviso in varie realtà disparate ed è definito con parole che alludono all’oro, al

nobile, al prezioso: «numero aureo», «rapporto aureo» e «sezione aurea».

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La sezione aurea, Φ

La Sezione Aurea conosciuta fin dall’antichità e durante i secoli, come ho già detto, è stata indicata

con nomi che rimandano all’oro, simbolo di quanto di più nobile, prezioso e inalterabile possa

esistere: «rapporto aureo», «sezione aurea», «numero d’oro».

Storicamente la prima chiara definizione venne formulata da Euclide. Il matematico greco,

Elementi

fondatore della geometria in quanto sistema deduttivo, nel VI libro dei suoi scrive:

«Si può dire che una linea retta sia stata divisa secondo la proporzione estrema

e media quando l’intera linea sta alla parte maggiore così come la maggiore

sta alla minore».

Ne deriva quindi (in base alla figura) che il rapporto tra l’intera “linea retta” AB e il segmento

maggiore AC è uguale al rapporto tra segmento maggiore AC e segmento minore CB.

AB/AC=AC/CB

Scegliendo come unità di misura il segmento più breve (CB=1) e indicando il segmento maggiore

x

con (in quanto x è un fattore sconosciuto, che sappiamo essere maggiore di 1), possiamo dire che

x x x.

sta ad 1 come + 1 sta ad

x /1 = (x + 1)/x x

Risolvendo l’equazione rispetto ad si ottiene l’equazione di secondo grado:

x x

2 - - 1 = 0

x x

Le due soluzioni , dell’equazione sono:

1 2

x

La soluzione positiva = (1 + √5) / 2 è quella che fornisce il valore del cosiddetto “rapporto

1

aureo”: 1,6180339887…, privo di sequenze ripetitive nelle sue infinite cifre decimali.

E' facile, a questo punto, costatare che Φ è irrazionale, essendo semplicemente la metà della somma

di 1 e della radice quadrata di 5. 5

Prima ancora di procedere, potete convincervi del fatto che questo numero ha davvero delle

proprietà singolari utilizzando una semplice calcolatrice tascabile. Digitate 1,6180339887... e

premete il tasto per elevare al quadrato (x2). Non notate niente di singolare? Ora digitate la stessa

sequenza di cifre, e premete il pulsante della divisione (1/x). Curioso, vero? Il quadrato di

1,6180339887... è 2,6180339887..., mentre il suo reciproco (1/1,6180339887...) è 0,6180339887...

Le cifre dopo il punto decimale sono esattamente le stesse! Il rapporto aureo è l'unico numero non

naturale il cui reciproco e il cui quadrato mantengono inalterata la propria parte decimale:

Il rapporto aureo, ed esso solo, ha la caratteristica di avere un quadrato uguale a se stesso più uno ed

un reciproco uguale e se stesso meno uno.

Per inciso, la soluzione negativa dell'equazione x2 = (1 - √5) / 2 è pari al negativo di 1/Φ.

L'irrazionalità di phi, cioè l'impossibilità di essere espressa compiutamente mediante una frazione, è

una tra le sue caratteristiche tipiche e singolari, che viene direttamente dimostrata dalla sua formula

generatrice:

La parte decimale, infatti, è interamente generata da (che è un numero irrazionale), che

sommato con un numero razionale fornisce un numero irrazionale. Per questo la sezione aurea è

detta anche “proporzione divina” dove l'aggettivo «divina» è dovuto ad un accostamento tra la

proprietà di irrazionalità del numero, che lo rende compiutamente inesprimibile per mezzo di una

ratio o frazione, e l'inconoscibilità del divino per mezzo della ragione umana.

La matematica, e il rapporto aureo in particolare, sono ricchi di «belle sorprese», ad esempio: si

immagini di tentare di determinare il valore della seguente, inconsueta espressione consistente in

radici quadrate che si succedono indefinitamente:

Possiamo sperare di calcolare il valore di un'espressione simile? Un modo piuttosto goffo di

avvicinarsi al suo valore potrebbe consistere nel calcolare √(1 + √1) cioè √2, cioè 1,414...; quindi

calcolare √(1 + √(1 + √1) cioè 1,554..., sperando che la serie di valori «converga» (cioè si

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avvicini progressivamente) a qualche numero. Ma c'è un altro modo, più elegante, di trovare il

valore della nostra espressione. Sia x il valore che stiamo cercando. Possiamo scrivere:

2

Ora eleviamo al quadrato entrambi i membri dell'equazione. Il quadrato di x è x , mentre il

quadrato del membro di destra si ottiene eliminando il segno di radice più a sinistra. Possiamo

quindi scrivere:

Si noti però che il secondo addendo del membro di destra è uguale al nostro x originario. Perciò:

2

x = 1 + x. Ma questa è l'equazione del rapporto aureo! Quindi, la nostra espressione senza fine è

uguale a Φ.

Occupiamoci ora di un tipo molto diverso di espressioni senza fine, questa volta basato sulle

frazioni invece che sulle radici quadrate:

Si tratta di un caso particolare di un tipo di entità matematiche note come «frazioni continue», di

uso piuttosto frequente nella teoria dei numeri. Come calcolare il valore della suddetta frazione

continua? Come in precedenza, potremmo interrompere il calcolo dopo un numero abbastanza

alto di iterazioni, sperando di trovare il valore verso il quale la frazione continua converge. Ma

potremmo ispirarci per analogia anche al secondo metodo. In questo caso, il passo iniziale

consisterebbe nell'indicare con x il valore della frazione, scrivendo:

7

Si noti che, poiché la frazione continua è illimitata, il denominatore del membro di destra

dell'equazione è uguale a x stesso. L'equazione può quindi essere scritta:

2

Moltiplicando ambo i membri per x, otteniamo x = x + 1, cioè, ancora una volta, la formula del

rapporto aureo! Quindi, anche questa notevole frazione continua è uguale a Φ.

Poiché la frazione continua corrispondente al rapporto aureo non contiene numeri al di fuori di 1,

converge molto lentamente. In un certo senso il rapporto aureo «resiste» alla propria espressione

sotto forma di frazione più di qualunque altro numero irrazionale, e, da questo punto di vista,

deve essere considerato «il più irrazionale» degli irrazionali.

Se ancora non vi impressiona che tutte le circostanze matematiche descritte siano riconducibili a

Φ, fate la seguente prova: scegliete due numeri qualunque e scriveteli uno dopo l'altro. Ricavate

un terzo numero semplicemente sommando i primi due; poi un quarto numero, sommando il

secondo e il terzo; un quinto, sommando il terzo e il quarto; un sesto, sommando il quarto e il

quinto; e così via fino a ottenere una serie di venti numeri. Per esempio, se i primi due numeri

sono 2 e 5, otterreste la serie 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131... Ora, usate la calcolatrice per

dividere il ventesimo numero per il diciannovesimo. Il risultato è il rapporto aureo.

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La sezione aurea in geometria

La sezione aurea può essere costruita geometricamente, con riga e compasso, su qualsiasi segmento

AB: si traccia la perpendicolare in B di lunghezza CB, pari a AB/2, si traccia poi l'ipotenusa AC del

triangolo rettangolo così disegnato e su di essa si segna il punto E, ove passa la circonferenza di

centro C e raggio CB. Si riporta ora il segno con raggio AE su AB definendo il segmento AE' medio

proporzionale rispetto ad AB e E'B.

Per la dimostrazione si può procedere in due modi ma per brevità di trattazione espongo solo il primo:

Per il teorema delle tangenti e delle secanti si ha che AB è medio proporzionale rispetto a AE e AD:

AD : AB = AB : AE

Per le proprietà delle proporzioni:

(AD - AB) : AB = (AB - AE): AE

da cui si ha, ricordando che AE = AE':

AE' : AB = E'B : AE'

AB : AE' = AE' : E'B

La sezione aurea è spesso messa in relazione, in geometria, con molte figure, piane e solide, in

particolare al pentagono regolare. 9

Nel pentagono, poligono legato tradizionalmente alla scuola pitagorica, infatti, essa si riscontra nel

rapporto fra la diagonale e il lato. Nel decagono poi esprime il rapporto fra la misura del raggio

della circonferenza circoscritta e del lato.

Per quanto riguarda la geometria solida, il numero d’oro si lega al dodecaedro, il poligono a dodici

1

pentagoni, e all'icosaedro, entrambi solidi platonici .

Rettangolo aureo e triangolo aureo

Esistono due poligoni in cui la presenza di Φ nel rapporto fra i loro lati ha fatto sì che venissero

definiti “aurei”. Il primo è il “rettangolo aureo”, in cui il rapporto fra base e altezza è uguale al

rapporto aureo; il secondo è il “triangolo aureo”, triangolo isoscele in cui Φ è dato dal rapporto tra il

lato obliquo e la base.

Il procedimento di costruzione del rettangolo aureo, realizzabile con il solo ausilio di riga e

compasso è stato presentato per la prima volta da Euclide nella proposizione degli elementi.

,

Si costruisce dapprima un quadrato, il cui lato corrisponderà al lato minore del rettangolo.

Si trova poi il punto medio di un lato e si punta su di esso un compasso con apertura sino a un

vertice non adiacente del quadrato.

Il punto nel quale la circonferenza così determinata interseca il prolungamento del lato determina il

secondo estremo del lato maggiore del rettangolo.

La dimostrazione è veloce:

Considerando 1 il lato del quadrato, l'apertura del compasso che punta nel punto medio risulta,

applicando il teorema di Pitagora:

1 Solido platonico è sinonimo di solido regolare e di poliedro convesso regolare e si

definisce come poliedro convesso che ha per facce poligoni regolari congruenti (cioè

sovrapponibili esattamente) e che ha tutti gli spigoli e i vertici equivalenti.

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.

Considerando che il segmento di tale lunghezza va aggiunto ad una porzione pari a ½ del lato, il

lato maggiore costruito misurerà complessivamente:

triangolo aureo

Il è un triangolo isoscele avente i due lati uguali in rapporto aureo con il terzo

lato, φ:1 (1,618:1) e angoli di 36°, 72° e 72°.

La spirale aurea e le galassie .

Immaginiamo di «sottrarre» da questo rettangolo un quadrato di lato uguale al lato minore. Il

risultato sarà un piccolo rettangolo, che è a sua volta un rettangolo aureo. Le dimensioni del

rettangolo «figlio» sono minori di quelle del rettangolo «genitore» di un fattore pari a Φ. Togliendo

un quadrato dal rettangolo «figlio» con lo stesso procedimento, otteniamo un terzo rettangolo aureo

di nuovo rimpicciolito di un fattore pari a Φ. Proseguendo si genera una serie di rettangoli aurei

sempre più piccoli, di dimensioni ridotte, ogni volta, di un fattore uguale a Φ. Esaminando ciascun

rettangolo con una lente di ingrandimento, che elimina la differenza di grandezza, si constata che

sono identici. Quello aureo e l'unico rettangolo che consente, togliendo un quadrato dalla sua area,

di ottenere un rettangolo simile al primo. Tracciando due diagonali che si intersecano in ciascuna

coppia di rettangoli, «genitore» e «figlio», si trova che tutte le diagonali passano per un punto. Si

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può dire che una serie geometrica di rettangoli aurei sempre più piccoli «converga» intorno a quel

punto senza mai raggiungerlo. Ispirandosi alle proprietà «divine» attribuite al rapporto aureo, il

matematico Clifford A. Pickover ha suggerito di chiamare tale punto «l’occhio di Dio».

Ora, se si congiungono i punti in cui questo «vortice di quadrati» divide i lati secondo il rapporto

aureo, si ottiene una spirale logaritmica che si sviluppa intorno al polo.

Quest’ultima è un elemento che si trova spesso anche in natura, ad esempio nella conformazione

della conchiglia del Nautilus.

La magia dei numeri di Fibonacci e del loro rapporto aureo non si limita a “infiltrarsi” nella natura

della Terra, ma va ben oltre il nostro mondo. La spirale logaritmica, costruita secondo questa