NUMERI TRASCENDENTI-LA TRASCENDENZA DEL
[math]π[/math]

Un numero trascendente è un numero irrazionale (cioè che non è rappresentabile come il rapporto tra due numeri interi) che non è algebrico (cioè non è soluzione di nessuna equazione polinomiale della forma: an x^n + a(n−1)x^(n−1) + ··· + a1 x + a0 = 0).

Tra i numeri trascendenti si ricorda la base dei logaritmi naturali

[math]e[/math]
(numero di Eulero), il cui valore approssimativo è
[math]2,718281828459045235360287471352...[/math]
).

Uno dei numeri trascendenti più famosi della matematica è anche

[math]\pi[/math]
, che esprime la relazione esistente tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro.

La dimostrazione della trascendenza di

[math]e[/math]
fu eseguita per la prima volta dal matematico Charles Hermite.

La dimostrazione relativa alla trascendenza del

[math]\pi[/math]
arrivò invece più tardi. La realizzò Lindemann nel 1882 e segnò una pietra militare nella storia della matematica, visto che, come conseguenza, dimostrò l'impossibilità della quadratura del cerchio.

Si sono dimostrati essere numeri trascendenti anche:


[math]e^{\pi},2^{\sqrt{2}},sen(1),ln2,\frac{ln2}{ln2}[/math]


ed alcuni altri. Attualmente rimangono aperte questioni importanti anche sulla trascendenza dei numeri:


[math]e^{e},π^{π},π^{e}[/math]
.


Si sa, per esempio, che almeno uno dei due numeri (probabilmente entrambi)

[math]π*e[/math]
e
[math]π+e[/math]
è trascendente, ma non si è ancora riusciti a dimostrare la trascendenza individuale di ciascuno di essi.

Così come si presentano, i numeri trascendenti sono in matematica come degli "animaletti rari e difficili da trovare". Questo potrebbe portare a pensare che siano rari, ma la realtà è molto diversa: sono infatti molti, moltissimi, infiniti e ancora di più.

Nell'insieme infinito dei numeri reali abbiamo, da un lato, i numeri razionali, che sono tutti algebrici e, dall'altro, gli irrazionali, tra i quali alcuni sono trascendenti. Sui ritiene che questi siano in assoluta maggioranza: per essere precisi, che ci siano più numeri trascendenti che algebrici.

Il matematico Cantor, infatti, dando prova di una genialità sorprendente (egli stesso arrivò a meravigliarsi dei suoi risultati) dimostrò con assoluta semplicità l'esistenza di infiniti numeri trascendenti.
Da un lato, si sa che l'insieme dei numeri reali non è numerabile; dall'altro, Cantor riuscì a dimostrare che l'insieme dei numeri algebrici è numerabile. Da questi due fatti, si deduce in modo immediato l'esistenza di infiniti numeri che non sono algebrici.

Cantor dimostrò, inoltre, che questo insieme, oltre ad essere infinito, non è numerabile. La conclusione è che ciò che trasforma l'insieme dei numeri reali in un "mostro" è proprio la presenza dei numeri trascendenti.

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