Costruzione delle mediane di un triangolo mediante Cabri

In questo appunto di matematica si descrivono brevemente i triangoli e le loro caratteristiche e si spiega l’utilizzo del programma Cabri per tracciare le mediane di un triangolo.

I triangoli

Siano dati tre punti non allineati A, B, C, definiamo triangolo ABC l’insieme dei punti comuni ai tre angoli convessi ABC, BCA e CAB.

In quanto intersezione di figure convesse, il triangolo si definisce una figura convessa.
In alternativa il triangolo ABC può essere pensato come l’intersezione di tre semipiani:

• il semipiano di origine AB e contenente C;
• quello di origine BC e contenente A;
• quello di origine CA e contenente B.

I punti A, B e C vengono chiamati vertici, mentre i segmenti AB, BC e AC sono i lati.
I tre angoli ABC, BCA e CAB sono chiamati angoli interni o semplicemente angoli del triangolo.
L’unione dei tre lati, ossia l’insieme dei punti appartenenti ad essi, si chiama contorno del triangolo, mentre il segmento somma dei tre lati è detto perimetro.
Un punto del triangolo, ma non del suo contorno si dice punto interno al triangolo, contrariamente diremo che un punto è esterno al triangolo se non appartiene ad esso.
Un angolo ABC di un triangolo avente vertici A, B, C si dice compreso fra i lati AB e BC ed adiacente a ciascuno di essi.
Dato un triangolo ed un suo angolo interno ABC, diremo che l’angolo ABD, ad esso adiacente, è l’angolo esterno del triangolo.

Classificazione dei triangoli

L’insieme dei triangoli è così suddiviso:

• triangoli scaleni;
• triangoli isosceli;
• triangoli equilateri;
• triangoli rettangoli.

Un triangolo si dice scaleno quando ha tutti e tre i lati di lunghezze diverse.
Diremo che un triangolo è isoscele se ha due lati uguali e conseguentemente gli angoli alla base uguali.
Un triangolo è equilatero (o equiangolo) se ha tutti i lati uguali (e quindi anche gli angoli).
Un triangolo viene chiamato rettangolo se uno dei suoi angoli è retto (90°).Il lato opposto all’angolo retto viene chiamato ipotenusa, gli altri due sono detti cateti.
Un triangolo rettangolo può essere isoscele quando i due cateti sono uguali (non può essere equilatero.

Proprietà dei triangoli

Ogni triangolo ha tre altezze e tre mediane relative ai tre lati, inoltre ha tre bisettrici, una per ogni suo angolo.
Dato un triangolo ABC chiameremo altezza relativa ad un suo lato la distanza del vertice opposto al lato dal lato considerato, ossia il segmento perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto.
Chiameremo mediana relativa ad un lato del triangolo il segmento che congiunge un vertice con il punto medio del lato opposto.
Chiameremo bisettrice di un angolo del triangolo la semiretta che passa per il vertice dell’angolo e lo divide in due angoli uguali.
Esiste una ed una sola altezza ed una ed una sola mediana relative ad un lato del triangolo; esiste una ed una sola bisettrice relativa ad un angolo del triangolo.
In un triangolo scaleno, altezze, mediane e bisettrici sono segmenti distinti e diversi fra loro.
In un triangolo isoscele l’altezza e la mediana relativa alla base e bisettrice dell’angolo al vertice sono individuate dallo stesso segmento.
In un triangolo equilatero altezze, mediane e bisettrici coincidono e sono tutte uguali fra loro.
Le altezze di ogni triangolo si incontrano in un punto chiamato ortocentro.
Il punto di incontro delle mediane viene chiamato baricentro.
Il punto di incontro delle tre bisettrici viene chiamato incentro e corrisponde al centro della circonferenza inscritta nel triangolo.

Cabri Géomètre

Il software che stiamo per descrivere è stato ideato nel 1985 da Jean Marie Laborde, informatico, matematico e ricercatore di matematica discreta presso l’Università di Grenoble e costituisce il programma di geometria dinamica più diffuso.
Questo software permette di realizzare figure geometriche traslando in chiave informatica la classica costruzione con l’uso di carta, matita, riga e compasso.
Tale programma introduce una grande novità che consiste nel fatto che non ci sono limiti alla possibilità di manipolazione della figura geometrica, per cui qualunque cambiamento nella costruzione lo si vede in tempo reale, permettendo l’osservazione delle proprietà varianti ed invarianti.
Cabri Géomètre si sviluppa in ambito della geometria euclidea, dove le costruzioni si realizzano con riga e compasso, i numeri non vengono presi in considerazione e vige la Teoria delle Grandezze.
Negli anni successivi al 1989 nasce CabriII, che, in antitesi alla precedente versione, consente l’utilizzo dei numeri nelle costruzioni: in questo modo diventano di facile soluzione problemi per i quali l’approccio euclideo non prevede risoluzione come la quadratura di un cerchio o la trisezione di un angolo.
Nel 1998, dopo l’avvento di internet, viene creato CabriJava un’applicazione che permette di pubblicare facilmente in rete le figure geometriche create con Cabri.
Dal 2001 tutti gli sviluppi e varianti di questo software sono sviluppati da Cabrilog, una società fondata dallo stesso Laborde ed in seguito sono stati sviluppati:

• - CabriII Plus;
• - Cabri Junior;
• - Cabri 3D.

Questo software si presta ad innumerevoli applicazioni sia per quanto riguarda l’ambito della ricerca che della didattica.

Esempio di applicazione di Cabri

Innanzi tutto procediamo con la costruzione del triangolo qualunque (ossia scaleno) di cui si tracciano le mediane.
Si selezioni lo strumento retta-triangolo, dopodiché si punti in una zona del foglio di lavoro e si faccia click in modo da fissare un punto: in questo modo otteniamo il primo vertice del triangolo.
Successivamente si sposti il mouse in modo da costruire il primo lato e si faccia di nuovo click col mouse: in questo modo si è fissato un secondo punto ed il secondo vertice del triangolo è costruito.
Se si sposta ulteriormente il mouse, al fine di far sì che si formi il terzo vertice, vediamo formarsi il triangolo generico. Nel momento in cui si faccia di nuovo click col mouse, rimane fissato il terzo vertice ed il triangolo risulta così definito.
Indichiamo tali vertici con le lettere A, B e C.
Costruiamo le mediane relative al triangolo costruito e verifichiamo che esse si intersecano in un unico punto G ( il baricentro).
Prima di tutto costruiamo i punti medi di ogni lato del triangolo:
si seleziona lo strumento costruisci e successivamente punto medio. Dopo aver scelto queste opzioni, si possono definire i punti medi di ciascun lato del triangolo cliccando su ciascun lato: il punto medio di ognuno verrà individuato dal software.
Si uniscano i vertici A e B con i punti medi dei lati opposti, individuati nel precedente passaggi e che chiameremo D ed E, rispettivamente: clicchiamo sullo strumento rette e selezioniamo segmento.
In questo modo risulteranno tracciate le due mediane AD e BE.
Una volta che si sono individuate queste due mediane, AD e BE, definiamo il loro punto di incontro:
si clicca sullo strumento punto e si seleziona il comando intersezione oggetti.
A questo punto risulta possibile tracciare la terza mediana CF (dove F risulta essere il punto medio del terzo lato del triangolo), tracciando il segmento che passa per il terzo vertice, C, ed il punto di incontro G delle altre due mediane.
Risultano così tracciate le tre mediane.

per ulteriori approfondimenti su Cabri vedi anche qua