Intersezioni tra una retta e un'iperbole

Consideriamo un'iperbole e una retta generiche ? ed ? di equazioni

[H: frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1,,,,,,,r: y=mx+q]

Vogliamo determinare sotto quali condizioni esse si intersecano, e in quanti punti. Inoltre, in questa scheda troveremo anche le relazioni che devono soddisfare i parametri ?,?,?,? affinché la retta ? sia tangente ad ?.

Metodo risolutivo: Cominciamo con l'intersecare ? ed ?, cioè col mettere le loro equazioni a sistema; poiché quella di ? esplicita il valore di ?, sostituiremo

alla ? della formula di ?

[\begin{cases}frac{x^"}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1\y=mx+qend{cases}Rightarrowfrac{x^2}{a^2}-frac{m^2x^2+q^2+2mxq}{b^2}=1]

Svolgendo i conti nell'ultima equazione ottenuta e ricordando che ? e ? sono entrambi diversi da 0, otterremo

[b^2x^2-a^2m^2x^2--a^2q^2-2mqa^2x-a^2b^2=0]

[(b^2-a^2m^2)x^2+2(-mqa^2)x+(-a^2b^2-a^2q^2)=0]

cioè un'equazione di secondo grado nell'incognita ?. Le soluzioni di questa equazione, se esistono, sono le ascisse dei punti d'intersezione tra ? ed ?: ne consegue che in nessun caso essi possono essere più di due. Calcoliamo il (Delta) dell'equazione:

[Delta=m^2q^2a^4+(a^2b^2+a^2q^2)(b^2-a^2m^2)=]

[=m^2q^2a^4+a^2b^4-a^4b^2m^2+a^2b^2q^2-a^4m^2q^2=]

[=a^2b^4-a^4b^2m^2+a^2b^2q^2]

Dunque (Delta=a^2b^2(b^2+q^2-a^2m^2)). I primi due fattori di questo prodotto, essendo dei quadrati di numeri reali non nulli, sono necessariamente positivi; ne consegue che il segno di (Delta) coincide con quello di (delta=b^2+q^2-a^2m^2). Considereremo adesso diversi casi:

Caso 1: (m=pm b/a)

In questo caso abbiamo naturalmente che (delta=b^2+q^2-a^2frac{b^2}{a^2}=q^2). Dunque (delta) risulta maggiore di 0 per tutte le possibili scelte di ?, tranne che per ?=0: in tal caso infatti si ha (delta=0). Notiamo però che se (m=pm a/b), l'equazione di cui abbiamo calcolato il delta in realtà è al più di primo grado, e dunque ammette una sola soluzione se (q
e 0), e nessuna soluzione se ?=0, poichè in quest'ultimo caso diviene

, la quale è sempre falsa viste le ipotesi fatte sui coefficienti ? e ?. Ciò ci porta alla seguente conclusione:

Osservazione 1: Tra tutte le rette appartenenti ad uno dei due fasci impropri di rette parallele a ciascun asintoto, solo questi ultimi non intersecano l'iperbole in alcun punto; tutte le altre rette hanno invece un solo punto d'intersezione con l'iperbole. Si può provare facilmente che questi non sono punti di tangenza, ovvero che l'iperbole viene attraversata da parte a parte da tali rette, che dunque sono secanti in un sol punto.

Caso 2: (-b/alt mlt b/a)

La condizione su scritta equivale a dire che (m^2ltfrac{b^2}{a^2}) ; se questo è il caso, allora certamente sarà pure vero che (a^2m^2lt b^2), ovverosia (b^2-a^2m^2gt 0). Si noti che la disuguaglianza è stretta; se a un numero strettamente positivo sommiamo un numero maggiore o uguale di 0, il risultato è ancora strettamente positivo. Dunque risulta

[delta=(b^2-a^2m^2)+q^2gt 0]

Il segno del delta in questo caso è indipendente dal valore di ?; in conclusione:

Osservazione 2: Ogni retta il cui coefficiente angolare è compreso tra quelli degli asintoti ha esattamente due intersezioni con l'iperbole, una appartenente a un ramo e l'altra appartenente all'altro, indipendentemente dal valore della sua intercetta.

Caso 3: (mlt-b/a cup mgt b/a)

Di tutti quelli possibili, il caso 3 è certo il più complesso. Se infatti (m^2gtfrac{b^2}{a^2}) , come subito segue dalla condizione in esame, allora al contrario di quanto visto nel caso 2 sarà (b^2-a^2m^2lt 0), cosicché il valore di (delta) dipenderà da quello di ?:

[|q|gt\sqrt{a^2m^2-b^2}Rightarrow q^2gt a^2m^2-b^2Rightarrowdeltagt 0]

[|q|=\sqrt{a^2m^2-b^2}Rightarrow q^2=a^2m^2-b^2Rightarrowdelta=0]

[|q|lt\sqrt{a^2m^2-b^2}Rightarrow q^2lt a^2m^2-b^2Rightarrowdeltalt 0]

Ecco allora che certi opportuni valori dell'intercetta consentono l'esistenza di due punti d'intersezione, stavolta appartenenti allo stesso ramo dell'iperbole, dal momento che il valore assoluto del coefficiente angolare troppo elevato non consente alla retta di passare per entrambi gli angoli di piano in cui è contenuta la curva. Altri valori di ?, troppo vicini allo 0, fanno in modo tale che la retta sia disgiunta dall'iperbole. Infine, due particolari intercette fanno intersecare la retta e l'iperbole in un sol punto; queste devono per forza corrispondere alle rette tangenti, perché in nessun altro caso l'intersezione avveniva in maniera tangenziale e pure ci è noto dalla geometria elementare che le tangenti devono esistere. Concludendo:

Osservazione 3: Le rette la cui pendenza è maggiore in valore assoluto rispetto a quella degli asintoti possono essere disgiunte dal grafico di un'iperbole, ad esso tangenti in un sol punto, o ad esso secanti in due punti appartenenti allo stesso ramo.

Osservazione 4: I risultati ottenuti in questa scheda per un'iperbole riferita ai propri assi con i fuochi appartenenti all'asse delle ascisse si estendono immediatamente ad ogni altro tipo d'iperbole studiato: nessuna delle considerazioni fatte dipende infatti dal sistema di coordinate adottato.

Esercizio proposto

Studia la posizione della retta