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Punto di Intersezione tra una retta e una parabola - Esercizi

Esercizio 1
Data una retta di equazione y = 5x+6, e una parabola di equazione x2+2x+8, si determino i punti di intersezione tra la retta e la parabola.
Svolgimento
Bisogna trovare un valore x tale che
[math]5x+6 = x^2+2x+8[/math]
. Per fare ciò sottraiamo le due equazioni ottenendo:
[math]x^2+2x+8-5x-6 = x^2-3x+2 = 0[/math]
Risolviamo ora l'equazione di secondo grado ricavando i valori di x:
[math]x_1 = \frac{3+\sqrt{9-8}}{2} = \frac{3+1}{2} = 2[/math]
.
[math]x_2 = \frac{3-\sqrt{9-8}}{2} = \frac{3-1}{2} = 1[/math]
.
Dato che l'equazione ha 2 soluzioni, la retta interseca la parabola in due punti.
Troviamo le coordinate del primo punto.
Siccome la retta ha equazione 5x+6, allora y = 5*2+6 = 16. La coordinata dell'altro punto vale 5*1+6 = 11.
Si può quindi concludere che la retta interseca la parabola in due punti A, B.
A (1, 11); B(2, 16).
Esercizio 2
Data la retta di equazione y = 3x+4, e la parabola di equazione x2-7x+29, determinare i punti di intersezione tra la retta e la parabola.
Svolgimento
Come abbiamo proceduto prima, troviamo un valore x tale che
[math]x^2-7x+29-3x-4 = x^2-10x+25[/math]
. Risolvendo l'equazione ci accorgiamo che il delta è uguale a 0, allora l'equazione ammette due radici reali coincidenti
[math]x_1 = 5[/math]
e
[math]x_2 = 5[/math]
. La retta è tangente alla parabola!
Determiniamo l'ordinata del punto di intersezione sostituendo 5 alla x nell'equazione 3x+4, ottenendo 19.
Allora la retta tocca la parabola nel punto (5, 19).
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