Intersezioni con l'ellisse

Nella sua forma più generale tra quelle studiate, l'equazione di un'ellisse è ( mx^2 + ny^2 + px + qy + r = 0 ), ovvero un'equazione di secondo grado nelle incognite ? ed ?, priva del termine rettangolare ??. Il problema di trovare le intersezioni tra un'ellisse e una generica retta coincide con quello di risolvere il sistema

[ \begin{cases} mx^2+ny^2+px + qy + r = 0 \ ax + by + c = 0 end{cases} ]

Esso può essere trattato in maniera standard esplicitando per ? o per ? l'equazione della retta e sostituendo il valore ottenuto nell'equazione dell'ellisse: il risultato è un'equazione al più di secondo grado contenente l'altra incognita, che può essere risolta facilmente.

Dunque le intersezioni tra una retta e un'ellisse sono tante quante le soluzioni di un'equazione di secondo grado: nessuna, una o due. Nel primo caso la retta è detta esterna, nel secondo tangente e nel terzo secante l'ellisse.

Osservazione 2: Intersecare tra loro due ellissi

ed

richiede la risoluzione del sistema

[ \begin{cases} m_1x^2 +n_1y^2 + p_1x + q_1y + r_1 = 0 \ m_2x^2 +n_2y^2 + p_2x + q_2y + r_2 = 0 end{cases} ]

Dal momento che certamente sia

che

sono diversi da 0, potremo riscriverlo così

[ frac{m_1}{n_1} x^2 + y^2 + frac{p_1}{n_1} x + frac{q_1}{n_1} y + frac{r_1}{n_1} = 0 \ frac{m_2}{n_2} x^2 + y^2 + frac{p_2}{n_2} x + frac{q_2}{n_2} y + frac{r_2}{n_2} = 0]

Da cui, sottraendo membro a membro, ricaveremo, con le ovvie posizioni,

[ \begin{cases} Big(frac{q_2}{n_2}-frac{q_1}{n_1} Big) y = Big(frac{m_1}{n_1}-frac{m_2}{n_2} Big) x^2 + Big( frac{p_1}{n_1}-frac{p_2}{n_2} Big) x + Big( frac{r_1}{n_1}-frac{r_2}{n_2} Big) \ E_1 end{cases} Rightarrow \begin{cases} \tilde{q}y = \tilde{m} x^2 + \tilde{p}x + \tilde{r} \ E_1 end{cases} ]

Se adesso ( \tilde{q} = 0 ), ovvero se ( frac{q_2}{n_2} = frac{q_1}{n_1} ) , la prima equazione è di secondo grado nella ? e può essere risolta. Ad ogni valore di ? corrisponderanno nessuno, uno o due valori della ? dopo aver effettuato la sostituzione in

: ne consegue che le soluzioni possono essere in qualsiasi numero compreso tra 0 e 4, e possono essere tutte determinate facilmente.

Se invece ( \tilde{q}
e 0 ), la prima equazione può essere esplicitata per ? scrivendo

[ \begin{equation} y = frac{\tilde{m}}{\tilde{q}} x^2 + frac{\tilde{p}}{\tilde{q}} x + frac{\tilde{r}}{\tilde{q}} label{eq1} end{equation} ]

e sostituendo questa scrittura di ? nella ( E_1 ) otteniamo un'equazione di quarto grado nella ?. Anche in questo caso la quantità di soluzioni è la stessa, ma poiché il metodo per trovare le radici di un'equazione di quarto grado è molto complesso, generalmente esse vengono determinate solo in casi semplici con il metodo di Ruffini.

In quest'immagine vediamo tutti i possibili casi d'intersezione tra due ellissi:

[ alpha cap gamma = alpha cap delta = varnothing ,,,,,, (0 \text{ punti}) ]

[ \beta cap gamma = {F} ,,,,,, (1 \text{ punto}) ]

[ \beta cap delta = {D, E} ,,,,,, (2 \text{ punti}) ]

[ alpha cap \beta = {A, B, C} ,,,,,, (3 \text{ punti}) ]

[ delta cap gamma = {G, H, J, K} ,,,,,, (4 \text{ punti}) ]

Osservazione 3: Dal momento che una circonferenza può essere vista come un'ellisse di eccentricità nulla, il problema di intersecare una circonferenza con un'ellisse è identico a quello consistente nell'intersecare due ellissi, che è stato trattato nell'osservazione 2.

Osservazione 4: Intersecare una parabola con un'ellisse è un problema che abbiamo tutto sommato già analizzato: nel corso dell'osservazione 2, abbiamo a un certo punto calcolato l'intersezione dell'equazione ((\ref{eq1})), che è quella di una parabola, con

, che appartiene a un' ellisse. Dunque una parabola ed un'ellisse possono avere qualsiasi numero di intersezioni compreso tra 0 e 4, ma queste sono tipicamente difficili da calcolare, se non in casi molto simmetrici.

Rette tangente a un'ellisse

Gli angoli formati da una retta ? tangente a un'ellisse ? con le congiungenti il punto di tangenza ? con i fuochi

ed

sono uguali.

Dimostrazione: La proprietà che vogliamo dimostrare non dipende dal particolare sistema di coordinate adottato. Dati dunque un'ellisse ? e una retta ? ad essa tangente in un punto ?, consideriamo il sistema di coordinate avente ? come origine e asse ? parallelo alla retta cui appartengono i fuochi. Così, visto che l'ellisse e la retta passano per l'origine e i termini noti delle loro equazioni devono essere nulli, avremo

[ E: mx^2+ny^2+px+qy=0,,,, , ,,,, t: y = alpha x ]

Il centro dell'ellisse è ( O'Big(-frac{p}{2m},-frac{q}{2n} Big) ), e dunque poniamo ( x_0 = -p/2m, y_0 = -q/2n ), cosicché l'equazione di ? diventa

[ E: mx^2+ny^2-2mx_0x-2ny_0y = 0 ]

La retta ? deve essere tangente all'ellisse, quindi il ( Delta ) dell'equazione caratteristica relativa alla loro intersezione deve essere nullo. Ciò ci consente di calcolare (alpha):

[ mx^2+nalpha^2x^2-2mx_0x-2ny_0alpha x = 0 Rightarrow ]

[ Rightarrow Delta=(2mx_0 + 2ny_0alpha)^2 = 0 ]

[ alpha = -frac{2mx_0}{2ny_0} = -frac{mx_0}{ny_0} ]

Le coordinate dei fuochi saranno semplicemente ( F_{1,2}(x_0 pm c, y_0) ), quindi sarà facile trovare le loro distanze da ?, ovvero dall'origine, e dalla retta ?:

[ F_1T = \sqrt{(x_0-c)^2+y^2_0} ,,,, , ,,,, F_2T = \sqrt{(x_0+c)^2+y^2_0} ]

[ F_1T = frac{|y_0-alpha(x_0-c)|}{\sqrt{alpha^2+1}} = frac{1}{\sqrt{alpha^2+1}} Big| y_0 + frac{mx_0}{ny_0} (x_0-c) Big| ]

[ F_2T = frac{|y_0-alpha(x_0+c)|}{\sqrt{alpha^2+1}} = frac{1}{\sqrt{alpha^2+1}} Big| y_0 + frac{mx_0}{ny_0} (x_0+c)Big| ]

Per le ultime due uguaglianze abbiamo adoperato la formula per la distanza da un punto da una retta in forma esplicita. Troviamo infine il valore di

: poiché in questo caso

, per le formule già note riguardo l'ellisse traslata scriveremo

[ c^2 = Big( frac{p^2}{4m}+frac{q^2}{4n}Big) Big(frac{1}{m}-frac{1}{n} Big) = frac{n-m}{nm} (mx^2_0+ny^2_0) ]

Veniamo adesso alla dimostrazione vera e propria del teorema: i due angoli di cui si parla nell'enunciato saranno uguali allorché i due triangoli cui essi appartengono risulteranno simili. Poiché essi sono rettangoli, per provare la similitudine basta mostrare che due coppie di lati sono in proporzione. Il teorema sarà perciò provato se varrà

[ F_1T : F_2T = F_1t : F_2t ]

In base ai calcoli già svolti, tale proporzione equivale all'equazione seguente

[ frac{\sqrt{(x_0-c)^2+y^2_0}}{\sqrt{(x_0+c)^2+y^2_0}} = frac{frac{1}{\sqrt{alpha^2+1}}Big|y_0+frac{mx_0}{ny_0}(x_0-c)Big|}{frac{1}{\sqrt{alpha^2+1}}Big|y_0+frac{mx_0}{ny_0}(x_0+c)Big|} Rightarrow]

[ Rightarrow frac{(x_0-c)^2+y^2_0}{(x_0+c)^2+y^2_0} = frac{Big(y_0+frac{mx_0}{ny_0}(x_0-c)Big)^2}{Big(y_0+frac{mx_0}{ny_0}(x_0+c)Big)^2}]

Il secondo passaggio è stato ottenuto semplificando i coefficienti del secondo membro ed elevando poi tutto al quadrato. Svolgendo il prodotto incrociato e tutte le moltiplicazioni presenti, si arriva facilmente a

[ y^2_0n^2-y^2_0mn+x^2_0mn-c^2mn-x^2_0m^2 = 0 ]

la quale risulta verificata identicamente allorché in essa si sostituisce il valore di

che abbiamo calcolato in precedenza.