Cilindro: intersezione con un piano inclinato rispetto all'asse

In questo appunto studieremo prima di tutto la definizione di cilindro: un particolare solido. Vedremo poi che cosa succede quando un cilindro viene intersecato da un piano non perpendicolare al suo asse, formando due nuovi solidi distinti che hanno delle proprietà specifiche. Vedremo anche qualche cenno della rappresentazione grafica di tale solido mediante assonometria; più specificatamente, nel caso dell’assonometria cavaliera.

Il cilindro

Un cilindro può essere considerato come un prisma a base circolare.

Infatti è un solido retto avente due basi identiche, entrambe circolari, che giacciono su due piani paralleli.
Un cilindro può essere "descritto" sostanzialmente da due dimensioni: il raggio di base (anche noto come

e la sua altezza, nota come

). Come ogni solido, esso occupa un volume, che è dato dalla formula:

Risulta possibile notare un'analogia con la formula per il volume di un prisma, dato da

dove

è l'area di base mentre

è l'altezza. Difatti, l'area di base del cilindro coincide con l'area di un cerchio avente raggio

Per calcolare l'area laterale di un cilindro, bisogna pensare a tale area come l'area di un rettangolo avente per base la misura della circonferenza e come altezza l'altezza del cilindro.
Per questo motivo possiamo ricavare la formula:

dove la notazione

sta per perimetro di base.
Per approfondimenti sul cerchio, vedi anche qua.

Assonometria cavaliera di un cilindro

Partiamo prima di tutto con la definizione di assonometria cavaliera. L'assonometria cavaliera è un metodo di rappresentazione grafica di oggetti tridimensionali lungo tre assi

. In particolare, l'asse

rappresenta la larghezza, l'asse

rappresenta l'altezza mentre l'asse

rappresenta la profondità. Nell’assonometria cavaliera, l’asse

viene rappresentata perpendicolarmente all’asse

, mentre l’asse

risulta invece inclinata rispetto all’asse

di

e rispetto all’asse

di

. Per rappresentare un cilindro in assonometria cavaliera, è necessario disegnare le due facce (simili a due ellissi) e disegnare poi le tangenti verticali a tali facce in modo tale da rappresentarne l’altezza. L’assonometria cavaliera non è l’unico modo idoneo a rappresentare un cilindro, ad esempio esistono anche l’assonometria isometrica e monometrica.

Per approfondimenti sull’assonometria cavaliera, vedi anche qua

Intersezione tra un cilindro e un piano non perpendicolare all’asse

Va precisato che si sta parlando di un piano non perpendicolare perché se esso invece dovesse essere perpendicolare all’asse, si avrebbe una situazione diversa.
In particolare, se immaginiamo di sezionare un cilindro con un piano inclinato rispetto all’asse, otterremo due nuovi solidi, aventi una base circolare e una base ellittica. Ricordiamo che l’ellisse è il luogo geometrico dei punti aventi la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi costante. In particolare, potremmo vedere l’ellisse come una circonferenza con due fuochi coincidenti col centro di essa. In geometria analitica, l’ellisse è una curva che ha equazione:

dove

rappresentano delle costanti reali.
In effetti, nel caso in cui un cilindro dovesse essere intersecato da un piano perpendicolare all’asse, la sezione corrisponde ad un cilindro e si formano due cilindri aventi la stessa base di quello di partenza.

Per approfondimenti sull’intersezione tra un cilindro e un piano perpendicolare all’asse, vedi anche qua

In questa animazione si mostrano le intersezioni di un cilindro con un piano inclinato