In questo appunto di matematica si studia un esempio pratico di come ricavare la lunghezza dei cateti di un triangolo rettangolo, note l’ipotenusa e l’altezza ad essa relativa.
Triangoli rettangoli
Si definisce triangolo rettangolo ogni triangolo avente un angolo retto e gli altri due acuti e fra loro complementari. Il lato opposto all’angolo retto viene chiamato ipotenusa, i due restanti lati vengono chiamati cateti ed risultano sempre di lunghezza inferiore all’ipotenusa.
Due triangoli rettangoli sono congruenti, se oltre all’angolo retto hanno due elementi ordinatamente uguali (che non siano i due angoli acuti):
- hanno uguali i due cateti;
- un lato qualsiasi ed un angolo acuto (purché ugualmente disposti);
- un cateto è l’ipotenusa.
Per i triangoli rettangoli è valido il Teorema di Pitagora, ossia il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti:
sia dato un triangolo rettangolo di cui
a è l’ipotenusa
b e c sono i cateti
si ha che
a^2 = b^2 + c^2
[/math]
da cui
a = \sqrt{b^2 + c^2}.
[/math]
Teorema di Euclide
I teoremi di Euclide sono due e sono molto utili nello studio dei triangoli rettangoli.
Tali teoremi sfruttano la similitudine del triangolo rettangolo di partenza con i due triangoli rettangoli in cui l’altezza relativa all’ipotenusa lo suddivide.
Di seguito riportiamo brevemente i loro enunciati senza dimostrazioni.
Primo Teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per lati l’ipotenusa e a proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.
Secondo Teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Quest’ultimo teorema può essere enunciato anche asserendo che, dato un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale delle due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa stessa.
Risoluzione di un problema sul triangolo rettangolo
Sia dato un triangolo rettangolo di cui si conosce l’ipotenusa i e l’altezza ad essa relativa h. Si vogliono trovare le lunghezze dei due cateti.
Si faccia riferimento all’immagine allegata.
Dati
i = 50
h = 24
Primo metodo di svolgimento
Siano x ed y le proiezione dei cateti
c_1
[/math]
e
c_2
[/math]
, rispettivamente, sull’ipotenusa (dove
c_1
[/math]
è il cateto minore e
c_2
[/math]
quello maggiore).
Si ha che
x + y = i
[/math]
ossia
x + y = 50.
[/math]
Inoltre per il Secondo Teorema di Euclide si ha che l’altezza h è media proporzionale delle due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa:
x \cdot y = h^2
[/math]
ossia
x \cdot y = (24)^2.
[/math]
Quindi si hanno due equazioni in due incognite che costituiscono il seguente sistema:
x + y = 50
[/math]
x \cdot y = (24)^2.
[/math]
Dalla prima equazione si ricava la y in funzione della x:
y = 50 – x
[/math]
e la si va a sostituire nella seconda equazione del sistema:
x \cdot (50 – x) = 24^2
[/math]
ossia
x \cdot (50 – x) = 576
[/math]
da cui
50x – x^2 = 576.
[/math]
La seguente equazione di secondo grado
x^2 – 50x + 576 = 0
[/math]
ricordando la formula risolutiva per questo tipo di equazioni,
nota
ax^2 + bx + c = 0
[/math]
la formula risolutiva è dara da
x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 – 4(a)(c)}}{2 a}
[/math]
dove
\Delta = b^2 – 4(a)(c)
[/math]
è il discriminante.
Applicandola al caso studiato, ci fornisce le seguenti soluzioni
x_{1,2} = \frac{50 \pm \sqrt{50^2 – 4(1)(576)}}{2}
[/math]
x_{1,2} = \frac{50 \pm \sqrt{2500 – 2304}}{2}
[/math]
x_{1,2} = \frac{50 \pm \sqrt{196}}{2}
[/math]
x_{1,2} = \frac{50 \pm 14}{2}
[/math]
quindi otteniamo
x_1 = \frac{50 - 14}{2}
[/math]
x_2 = \frac{50 + 14}{2}
[/math]
ossia
x_1 = \frac{36}{2}
[/math]
x_2 = \frac{64}{2}
[/math]
da cui
x_1 = 18
[/math]
x_2 = 32.
[/math]
Noti questi due valori si possono trovare quelli di corrispondenti di
y_1
[/math]
ed
y_2
[/math]
:
y_1 = 50 – x_1
[/math]
y_1 = 50 – 18
[/math]
y_1 = 32
[/math]
ed inoltre
y_2 = 50 – x_2
[/math]
y_2 = 50 – 18
[/math]
y_2 = 32.
[/math]
Quindi si può concludere che, in ogni caso l’ipotenusa si scompone in due segmenti ciascuno di lunghezza x = 18 ed y = 32 (o viceversa, otteniamo comunque lo stesso risultato).
Applicando il Teorema di Pitagora ai triangoli rettangoli
c_1
[/math]
,
h
[/math]
,
i
[/math]
e
c_2
[/math]
,
h
[/math]
,
i
[/math]
si ottengono le misure dei due cateti:
(c_1)^2 = x^2 + h^2
[/math]
(c_2)^2 = y^2 + h^2
[/math]
ossia
c_1 = \sqrt{x^2 + h^2}
[/math]
c_2 = \sqrt{y^2 + h^2}
[/math]
da cui
c_1 = \sqrt{(18)^2 + (24)^2}
[/math]
c_2 = \sqrt{(32)^2 + (24)^2}
[/math]
quindi
c_1 = \sqrt{324 + 576}
[/math]
c_2 = \sqrt{1024 + 576}
[/math]
si ottiene che
c_1 = \sqrt{900}
[/math]
c_2 = \sqrt{1600}
[/math]
ed infine
c_1 = 30
[/math]
c_2 = 40.
[/math]
Si noti che il risultato ottenuto sarebbe stato esattamente lo stesso, se avessimo invertito il valore delle proiezioni ortogonali.
Secondo metodo risolutivo.
Il secondo metodo risolutivo ci permette di calcolare direttamente i cateti senza passare dalle loro proiezioni ortogonali sull’ipotenusa.
Per il Teorema di Pitagora sappiamo che vale la seguente relazione:
(c_1)^2 + (c_2)^2 = (i)^2.
[/math]
Inoltre l’area del triangolo rettangolo,
A_t
[/math]
, può essere trovata come prodotto dei cateti diviso due oppure come il prodotto dell’ipotenusa e dell’altezza ad essa relativa diviso due:
A_t = \frac{(c_1) \cdot (c_2)}{2}
[/math]
A_t = \frac{(i) \cdot (h)}{2}
[/math]
Quindi
\frac{(c_1) \cdot (c_2)}{2} = \frac{(i) \cdot (h)}{2}.
[/math]
Per cui si ottiene un sistema di due equazioni in due incognite che sono i cateti:
(c_1)^2 + (c_2)^2 = (i)^2
[/math]
\frac{(c_1) \cdot (c_2)}{2} = \frac{(i) \cdot (h)}{2}
[/math]
ossia
(c_1)^2 + (c_2)^2 = (i)^2
[/math]
(c_1) \cdot (c_2) = (i) \cdot (h).
[/math]
Tale sistema può essere facilmente risolto moltiplicando per due entrambi i membri della seconda equazione e sommando quest’ultima alla prima:
(c_1)^2 + (c_2)^2 = (i)^2
[/math]
2 (c_1) \cdot (c_2) = 2 (i) \cdot (h).
[/math]
quindi sommando membro a membro si ha che
(c_1)^2 + (c_2)^2 + 2 (c_1) \cdot (c_2) = (i)^2 + 2 (i) \cdot (h)
[/math]
da cui
(c_1 + c_2)^2 = (i)^2 + 2 (i) \cdot (h)
[/math]
ed estraendo la radice quadrata si ha che
c_1 + c_2 = \sqrt{(i)^2 + 2 (i) \cdot (h)}
[/math]
e sostituendo i valori numerici
c_1 + c_2 = \sqrt{(50)^2 + 2 (50) \cdot (24)}
[/math]
c_1 + c_2 = \sqrt{2500 + 2400}
[/math]
c_1 + c_2 = \sqrt{4900}
[/math]
c_1 + c_2 = 70
[/math]
da cui
c_1 = 70 – c_2
[/math]
che andiamo a sostituire nella seconda espressione del sistema
(c_1) \cdot (c_2) = (i) \cdot (h)
[/math]
quindi otteniamo
(70 – c_2) \cdot (c_2) = (50) \cdot (24)
[/math]
da cui la seguente equazione di secondo grado
(c_2)^2 – 70c_2 + 1200 = 0
[/math]
le sui soluzioni sono date da
c_2 = \frac{70 \pm \sqrt{70^2 – 4(1)(1200)}}{2}
[/math]
c_2 = \frac{70 \pm \sqrt{4900 – 4800}}{2}
[/math]
c_2 = \frac{70 \pm \sqrt{100}}{2}
[/math]
c_2 = \frac{70 \pm 10}{2}
[/math]
quindi
c_2 = \frac{70 - 10}{2}
[/math]
c_2 = \frac{70 + 10}{2}
[/math]
da cui
c_2 = \frac{60}{2}
[/math]
c_2 = \frac{80}{2}
[/math]
ottenendo
c_2 = 30
[/math]
quindi
c_1 = 40
[/math]
c_2 = 40
[/math]
quindi
c_1 = 30.
[/math]
per ulteriori approfondimenti sui triangoli rettangoli vedi anche qua
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