In questo appunto di matematica affrontiamo un argomento fondamentale per la geometria analitica, ossia la retta, dandone la definizione, spiegandone le caratteristiche ed illustrando i vari metodi per trovare la sua equazione riferita al piano cartesiano.
Indice
La retta e la sua equazione: Definizione
Sia dato un piano cartesiano ortogonale[math]Oxy [/math]
di origine [math]O[/math]
ed assi [math]x[/math]
ed [math]y[/math]
.Definiamo la retta come un ente geometrico costituito da infiniti punti allineati.
Al fine di studiare la retta nel piano cartesiano dobbiamo definire una funzione che metta in relazione le coordinate di tutti i punti appartenenti alla retta, ossia dobbiamo arrivare a definire una relazione fra le ascisse
[math]x[/math]
, e le ordinate [math]y[/math]
del generico punto [math]P = (x;y) [/math]
che appartiene alla generica retta [math]r[/math]
.Tutti i punti della retta
[math]r[/math]
godono della proprietà di avere per coordinate coppie di numeri che, sostituiti ordinatamente al posto delle variabili [math]x[/math]
ed [math]y[/math]
nell’equazione che definisce la retta, soddisfano l’equazione stessa.La retta può essere descritta da due tipologie di equazioni:
- Equazione retta in forma implicita;
- Equazione della retta in forma esplicita.
[math]ax + by + c = 0[/math]
Dove:
[math]a, b, c ∈ \mathbb{R} [/math]
Nel caso della forma esplicita, sia ha una equazione del tipo:[math]y = mx + q[/math]
Dove:
Dove:
[math]m, q ∈ \mathbb{R} [/math]
[math]m[/math]
viene chiamato coefficiente angolare, è definito anche come:[math]m = tgα [/math]
[math]α[/math]
è l’angolo che la retta considerata forma con la direzione positiva dell’asse delle [math]x[/math]
.Tale coefficiente fornisce indicazioni sull’inclinazione della retta e sul suo andamento.
Infatti:
- Se[math] m > 0[/math]allora[math]tgα > 0[/math], quindi la retta risulta essere crescente;
- Se [math]m > 0[/math]allora[math]tgα > 0[/math], quindi la retta risulta essere decrescente.
Il coefficiente
[math]q[/math]
viene chiamato termine noto ed individua l’ordinata del punto in cui la retta interseca l’asse delle [math]y[/math]
, ossia [math](0,q)[/math]
.Data:
[math]ax + by + c = 0[/math]
Si ha che:
[math]by = -ax – c[/math]
[math]y = - (\frac{a}{b})x – \frac{c}{b}[/math]
Dove si ha che;
[math]m = - \frac{a}{b}[/math]
[math]q = - \frac{c}{b}[/math]
Se
[math]q = 0[/math]
, la retta passa per l’origine [math]O[/math]
degli assi cartesiani.Per ulteriori approfondimenti sull'equazione della retta vedi anche qua
Rette particolari
L’equazione di una retta qualunque viene rappresentata in una delle due forme precedentemente descritte.Esistono però alcuni casi particolari su cui è bene portare l’attenzione perché potrebbero discostarsi da quelli descritti.
Il primo caso è quello in cui la retta abbia un’equazione del tipo:
[math]x = K[/math]
, con [math]K ∈ \mathbb{R} [/math]
.Tale equazione individua il fascio improprio di rette parallele all’asse delle ordinate
[math]y[/math]
.Il secondo caso è quello in cui la retta abbia un’equazione del tipo:
[math]y = K[/math]
, con [math]K ∈ \mathbb{R} [/math]
.Tale equazione individua il fascio improprio di rette parallele all’asse delle ascisse
[math]x[/math]
.
Posizione reciproca fra rette
Le rette oggetto del nostro studio, riferite ad un sistema di riferimento cartesiano ortogonale[math]Oxy[/math]
, possono essere:- Incidenti;
- Parallele coincidenti;
- Parallele distinte.
Siano
[math]r_1[/math]
ed [math]r_2[/math]
le due rette incidenti di equazione:[math]y = m_1 x + q_1[/math]
[math]y = m_2 x + q_2[/math]
Diremo che il punto
[math]P = (x_0,y_0)[/math]
è il loro punto di intersezione se le sue coordinate soddisfano contemporaneamente le due equazioni:[math]y_0 = m_1 x_0 + q_1[/math]
[math]y_0 = m_2 x_0 + q_2[/math]
In generale avremo
[math]m_1 ≠ m_2.[/math]
Fra le rette incidenti risultano di particolare interesse quelle fra loro perpendicolari.Se consideriamo le due rette di cui sopra,
[math]r_1[/math]
ed [math]r_2[/math]
, con equazioni:[math]y = m_1 x + q_1[/math]
[math]y = m_2 x + q_2[/math]
Diremo che sono ortogonali se i due coefficienti angolari
[math]m_1[/math]
ed [math]m_2[/math]
sono antireciproci, ossia se sono tali che[math](m_1) (m_2) = -1[/math]
.Con:
[math]m_1 = - \frac{1}{m_2}[/math]
[math]m_2 = - \frac{1}{m_1}[/math]
Diremo che due rette sono parallele se hanno tutti i punti in comune (parallele coincidenti) oppure se non ne hanno nessuno si chiameranno (parallele distinte).
Se consideriamo le due rette di cui sopra,
[math]r_1[/math]
ed [math]r_2[/math]
, di equazioni:[math]y = m_1 x + q_1[/math]
[math]y = m_2 x + q_2[/math]
Diremo che sono parallele se i due coefficienti angolari
[math]m_1[/math]
ed [math]m_2[/math]
sono uguali:[math]m_1 = m_2.[/math]
Le due rette saranno parallele distinte se
[math]m_1 = m_2[/math]
, ma [math]q_1 ≠ q_2[/math]
Mentre sono parallele coincidenti se l’equazione di una è multiplo della seconda.
Se le due rette vengono espresse tramite le loro equazioni implicite:
[math]a_1x + b_1y + c_1 = 0[/math]
[math]a_2x + b_2y + c_2 = 0[/math]
Si ha che:
- Se [math]\frac{a_1}{a_2} ≠ \frac{b_1}{b_2}[/math]le due rette sono incidenti;
- Se [math]\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} ≠ \frac{c_1}{c_2}[/math]le due rette sono parallele distinte;
- Se [math]\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}[/math]le due rette sono parallele coincidenti;
Retta per due punti
L’equazione di una retta, non parallela ad alcun asse coordinato, passante per i punti[math]A = (x_A;y_A)
[/math]
e [/math]
[math]B = (x_B;y_B)[/math]
è la seguente:[math]\frac{(x – x_B)}{(x_A – x_B)} = \frac{(y – y_B)}{(y_A – y_B)}.[/math]
Tale definizione deriva dal fatto che:
Le coordinate cartesiane dei punti di una retta, non parallela ad alcun asse coordinato, sono le soluzioni di una equazione di primo grado in due variabili.
Facciamo un esempio: si vuole trovare l'equazione della retta passante per i punti
[math] A = (1;1) [/math]
e [math] B = (2;3) [/math]
:[math]\frac{(x – 2)}{(1 – 2)} = \frac{(y – 3)}{(1 – 3)}[/math]
[math]\frac{(x – 2)}{-1} = \frac{(y – 3)}{(-2)}[/math]
[math]-x + 2 = \frac{(y – 3)}{(-2)}[/math]
[math]2x – 4 = y – 3[/math]
[math]y = 2x – 1[/math]
[math] A[/math]
e [math] B[/math]
, ottenendo in questo modo un sistema di due equazioni in due incognite, [math] m[/math]
e [math] q[/math]
, risolvendo il quale avremmo ottenuto coefficiente angolare e termine noto ed saremmo arrivati allo stesso risultato.
Retta per un punto noto il coefficiente angolare
Sia dato un generico punto[math]P = (x_P;y_P)[/math]
e tutte le rette che passano per [math] P [/math]
(fascio di rette proprio) date dalla seguente equazione:[math]y – y_P = m (x – x_P)[/math]
Per trovare l’equazione di una retta in particolare facente parte di tale fascio, si deve fissare un valore del coefficiente angolare
[math] m[/math]
. Tale valore può essere fissato prendendo una seconda retta di riferimento, ad esempio parallela, perpendicolare a quella che si vuole trovare o semplicemente di riferimento che fornisca un valore del coefficiente angolare.
Si ricorda che noti due punti
[math]A = (x_A;y_A)[/math]
e [math]B = (x_B;y_B)[/math]
, il valore del coefficiente angolare può essere trovato mediante la seguente espressione:[math]m = \frac{(y_A – y_B)}{(x_A – x_B)}[/math]
Facciamo un esempio: se si vuole trovare l'equazione della retta passante per
[math] P = (0;2) [/math]
di coefficiente angolare [math]\frac{1}{2}[/math]
:[math]y – 2 = (\frac{1}{2})(x – 0)[/math]
[math]y = \frac{1}{2} x + 2[/math]
Supponiamo di avere un punto generico ed un coefficiente angolare generico.
- Sostituire il valore del nostro coefficiente angolare all'interno dell'equazione della retta, ottenendo un'espressione in cui rimane da trovare il termine noto [math] q[/math].
Più genericamente andiamo a sostituire il valore noto di m nell'equazione[math] y=mx+q[/math]. - Dopodiché si sostituiscono le coordinate del punto all'interno dell'equazione della retta e questo ci consentirà di trovare il termine noto [math] q[/math].
- Conoscendo i parametri [math] m[/math]e[math] q[/math]si può scrivere l’equazione della retta.
Per ulteriori approfondimenti sull'equazione della retta vedi anche qua
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