Determinare il punto
[math]Q[/math]
simmetrico di
[math]P(-5;13)[/math]
rispetto alla retta
[math]r: 2x-3y-3=0[/math]
Possiamo procedere in due modi.
1) La strategia è la seguente: calcoliamo l'equazione della retta perpendicolare a
[math]r[/math]
e passante per
[math]P[/math]
Il punto simmetrico che si cerca deve per forza appartenere a tale retta, e deve avere distanza da essa uguale a quella del punto
[math]P[/math]
(la simmetria lo impone).
Procediamo trovando l'equazione della retta parpendicolare a
[math]r[/math]
e passante per
[math]P[/math]
Il suo coefficiente angolare vale
[math]-3/2[/math]
, e la retta (che chiamiamo
[math]t[/math]
) passa per
[math]P(5,13)[/math]
, quindi la sua equazione è
[math]y-13=m(x+5)[/math]
da cui
[math]y=-(3/2)x+11/2[/math]
.
Ora il punto simmetrico
[math]Q[/math]
deve appartenere alla retta
[math]y=-(3/2)x+11/2[/math]
e deve avere la distanza dalla retta
[math]2x-3y-3=0[/math]
pari alla distanza di
[math]P=(-5,13)[/math]
dalla stessa retta
[math]2x-3y-3=0[/math]
.
La distanza di
[math]P=(-5,13)[/math]
dalla retta
[math]2x-3y-3=0[/math]
è
[math]d=(|-10-39-3|)/\sqrt{2^2+3^2}=52/\sqrt(13)=4\sqrt(13)[/math]
Il punto
[math]Q[/math]
ha generiche coordinate
[math]Q=(x,-(3/2)x+11/2)[/math]
dovendo appartenere alla retta
[math]y=-(3/2)x+11/2[/math]
e la sua distanza dalla retta
[math]2x-3y-3=0[/math]
è
[math]d1=|2x-3(-3/2x+11/2)-3|/\sqrt{13}=13|x-3|/(2\sqrt{13})[/math]
Ora basta risolvere l'equazione
[math]d=d1[/math]
che assicura la simmetria, cioè
[math]13|x-3|/(2\sqrt{13})=4\sqrt{13}[/math]
che restituisce
[math]|x-3|=8[/math]
Ora se
[math]x>3[/math]
allora l'equazione diviene
[math]x-3=8[/math]
che ha soluzione
[math]x=11[/math]
ed è accettabile perciò abbaimo trovato un punto richiesto
[math]Q=(11,-11)[/math]
Se
[math]x l'equazione ha soluzione
[math]x=-5[/math]
anch'esso accettabile ed il punto trovato è
[math](-5,13)[/math]
che non è altro che il punto
[math]P[/math]
di partenza (risultato prevedibile, infatti l'equazione ha restituito entrambi i punti che hanno quella distanza da
[math]r[/math]
e appartengono a
[math]t[/math]
, e questi sono solo 2)
In conclusione il punto cercato è
[math]Q=(11,-11)[/math]
Proviamo che il punto
[math]Q=(11,-11)[/math]
calcolato è corretto.
Calcoliamo il punto di intersezione tra le due rette
[math]2x-3y-3=0[/math]
ed
[math]y=-(3/2)x+11/2[/math]
. Il punto di intersezione ha coordinate
[math]C=(3,1)[/math]
. Ma tale punto di intersezione deve essere il punto medio del segmento
[math]\bar{PQ}[/math]
vista la simmetria.
Tale punto medio ha coordinate
[math]M=((x_P+x_Q)/2,(y_P+y_Q)/2)=((11-5)/2,(13-11)/2)=(3,1)=C[/math]
come volevamo dimostrare e questo ci assicura che il punto
[math]Q=(11,-11)[/math]
è quello che cercavamo
Proponiamo la seconda soluzione
2)
Utilizziamo alcuni risultati della soluzione precedente.
La perpendicolare per P alla retta data e':
[math]y=-(3/2)x+11/2[/math]
ed essa interseca la retta data nel punto
[math]C(3,1)[/math]
(facilmente verificabile mettendo a sistema del due rette)
Ora e' sufficiente scrivere che
[math]C[/math]
e' il punto medio tra
[math]P[/math]
ed il simmetrico
che indico con
[math]Q(x,y)[/math]
e cioe':
[math]\begin{cases} (-5+x)/2=3 \\ (13+y)/2=1 \ \end{cases}[/math]
da cui si ricava che:
[math]x=11,y=-11[/math]
che sono le richieste coordinate del simmetrico.
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