In quest'appunto troverai un'introduzione generale sui solidi, con un attenzione particolare alle proprietà del cilindro. Inoltre, sono elencate anche le formule dirette e inverse da realizzare per il calcolo di area e volume del cilindro.
Indice
La geometria solida: cosa studia e perché è utile
La geometria è una branca della matematica che studia la disposizione e le proprietà delle figure nello spazio o nel piano. A seconda del tipo di figure studiate si può parlare di geometria piana o di geometria solida.
In particolare, la geometria piana studia le figure aventi esclusivamente due dimensioni: altezza e larghezza.
Sono figure piane il quadrato, il rettangolo, il rombo: le principali grandezze relative a queste ultime che possono essere calcolate sono il perimetro e l'area.
La geometria solida, invece, studia le figure solide come il parallelepipedo, il cubo etc. Tali figure non presentano soltanto larghezza e altezza ma anche la profondità: per questo motivo è possibile quantificare anche il volume.
Gli elementi caratteristici delle figure solide
Tutti i solidi presentano degli elementi caratteristici, utilizzati per il calcolo delle superfici e del volume. In particolare:
- le facce, ossia i poligoni che costituiscono il solido. I solidi che presentano delle facce curve (come il cono e il cilindro) sono detti solidi di rotazione, mentre le figure che presentano solo facce poligonali sono chiamate poliedri.
Un parallelepipedo, ad esempio, è un diedro composto esclusivamente da quadrilateri mentre un cubo è un poliedro che presenta esclusivamente facce quadrate. Sfruttando le proprietà dei poligoni che compongono un solido è possibile definire l'area di base, l'area laterale e l'area totale.
- i vertici, cioè i punti condivisi da almeno tre facce
- gli spigoli, ossia i lati delle facce
Il cilindro: proprietà e formule per il calcolo del perimetro e dell'area
Il cilindro è definito un solido di rotazione: esso, infatti, può essere disegnato ruotando a
un rettangolo rispetto a una sua base o a una sua altezza.
Esso è composto da due basi di forma circolare e un corpo centrale: da questi elementi è possibile ricavare le principali formule.
L'area di base del cilindro infatti corrisponde all'area del cerchio ossia la parte di piano racchiusa da una circonferenza, a sua volta composta da un insieme di punti equidistanti dal centro. Può essere quindi calcolata come il prodotto tra pi greco
e il quadrato del raggio:
L'area della superficie laterale, invece, può essere calcolato come il doppio prodotto tra pi greco
, l'altezza del solido e il raggio. In termini matematici, questo equivale a dire che
.
A partire da queste due grandezze è possibile anche definire l'area totale. Essa corrisponde alla somma tra il doppio prodotto dell'area di base e la superficie laterale. Quindi
.
Essendo un solido, il cilindro dispone anche di un volume. Se si considera il solido al pari di una scatola, il volume è la parte di spazio racchiusa al suo interno grazie alla superficie totale.
Il volume del cilindro può essere calcolato come
.
Esempio commentato sul calcolo del perimetro e dell'area del cilindro
Per comprendere le formule appena elencate svolgiamo un esempio commentato.
L'altezza di un tubo cilindrico è pari a
, mentre il suo raggio ammonta a
.
Considerando che la densità dell'acqua ammonta a circa
calcola la massa dell'acqua che può essere contenuta all'interno del tubo, nel momento in cui quest'ultimo risulta completamente riempito.
Suggerimento: la densità può essere calcolata come il rapporto tra la massa e il...
Svolgimento
Per svolgere tale quesito bisogna partire da un concetto "fisico". La densità di un corpo può essere calcolata come il rapporto tra la massa e il suo volume. Ciò significa che per calcolare la massa di acqua è opportuno effettuare il prodotto tra la densità dell'acqua e il volume del tubo che la contiene.
Supponendo che il tubo sia cilindrico, la formula da utilizzare per il calcolo del volume è
.
Prima di passare al calcolo, è necessario convertire tutte le misure nella corretta unità di misura: ciò significa che i centimetri devono essere convertiti in metri.
Applicando questa conversione si ha che
. Il volume è quindi pari a
, ossia
.
Per ottenere la massa bisogna moltiplicare questo numero per la densità dell'acqua:
.
All'interno di questo tubo è possibile inserire
di acqua.
Per ulteriori approfondimenti sul volume del cilindro vedi anche qui
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