Relazione e proprietà

III

Una relazione di questo tipo, cioè tale che ogni elemento del codominio ha almeno una

controimmagine, si dice suriettiva.

)

R

IV

A B .1

.a .2

.b .3

.c .4

B 4

3

2

1 a b c A

Ogni elemento del codominio B ha al più una controimmagine in A , quindi ad ogni

elemento del codominio arriva al più una freccia.

Su ogni semiretta uscente da un elemento di B c'è al più un punto dell' insieme

  ⊂

R = (a, 1), (c, 2), (c, 4) (A x B) .

IV

Una relazione di questo tipo, cioè tale che ogni elemento del codominio ha al più una

controimmagine, si dice iniettiva. www.matematicamente.it

C. De Fusco Relazioni e loro proprietà 6

Questi quattro tipi di relazioni, pur operando tra gli stessi insiemi A e B, sono diverse e

godono di proprietà diverse.

Oltre ai diversi tipi di relazioni, abbiamo visto diversi modi per rappresentarle:

1) Dando un predicato a due argomenti, cioè con due posti vuoti;

es. a) il fiume ...... bagna ...... ;

b) il numero ...... è doppio di ...... ;

c) ...... è padre di ...... ; (relazione di parentela)

2) Descrivendo la relazione come insieme di coppie che rendono il predicato vero;

es. a) (Po, Torino), (Tevere, Roma), ..... ;

b) (24, 12), (10, 5), ..... ;

c) (Antonio, Gianni), (Raffaele, Giulio), ..... ;

3) Usando i diagrammi di Venn e le frecce (diagrammi a frecce);

4) Dandone la rappresentazione cartesiana: prodotto cartesiano e tabelle a doppia

entrata. RELAZIONI TRA NUMERI (N)

Consideriamo l'insieme N dei numeri naturali e l'insieme delle ultime cifre di tutti i

numeri naturali ( in pratica l'insieme delle cifre che compongono i numeri naturali ):

Dominio Codominio

N 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Possiamo stabilire una relazione o corrispondenza tra i numeri naturali e la loro ultima

cifra.

Questo tipo di relazione è una funzione perché ogni numero naturale ha una ed una

sola ultima cifra, quindi è una relazione ovunque definita e funzionale ma è anche

una relazione suriettiva perché ogni elemento del codominio ha almeno una

controimmagine nel dominio N.

Consideriamo ora la relazione in N che associa ad ogni numero pari il suo

successivo pari e ad ogni numero dispari il suo successivo dispari.

Dominio Codominio

N N

0 2

1 3

2 4

3 5

..... ..... www.matematicamente.it

C. De Fusco Relazioni e loro proprietà 7

Abbiamo fatto in modo che l'incremento fosse costante (+2), e la legge generale (o

predicato) di questa relazione è: n + 2 = m.

E' un predicato perché n e m possono assumere qualsiasi valore, in pratica è come

avere: " ...... + 2 = ......".

E' una funzione perché ogni elemento del dominio ha una ed una sola immagine, ma ci

sono due numeri del codominio (0 e 1) ai quali non arriva alcuna freccia cioè non hanno

alcuna controimmagine.

Funzioni di questo tipo si chiamano "macchine". In questo caso abbiamo "macchina

+2", quindi dando input "n", otteniamo output "n +2".

Usando un diagramma a frecce:

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Dominio n

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Codominio

m = n + 2

Se il predicato ha un solo posto vuoto, cioè l'incognita è una sola, abbiamo :

a) x + 3 = 12 b) 18 + 5 = x

c) .................... ecc.

che sono delle equazioni elementari. Se ci sono elementi nei quali non arriva alcuna

freccia (nel caso precedente 0 e 1), vuol dire che l'equazione non è risolvibile in N per

quei valori.

Se consideriamo la "macchina - 4" (schema in basso), abbiamo il predicato: n - 4 = m

che non è una funzione, infatti non tutti gli elementi del dominio hanno una immagine nel

codominio.

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Dominio n

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Codominio

m = n - 4

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C. De Fusco Relazioni e loro proprietà 8

La macchina più conosciuta è la "macchina + 1" che è la macchina di Peano che ci

permette di costruire la successione dei numeri naturali. E' una funzione e la sua legge

è: n = n + 1 .

Consideriamo ora la funzione n = n + 0. Essa è una corrispondenza biunivoca che

prende il nome di identità, infatti ad ogni numero naturale "n" associa lo stesso numero

"n" e viceversa.

Altre macchine particolari sono quelle che presentano delle moltiplicazioni, ad

esempio:

•

m = n 2 , che è una funzione iniettiva. Le funzioni di questo tipo sono un modo per

costruire i multipli di un numero:

•

m = n 3

•

m = n 4

ecc.

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Dominio

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Codominio

•

m = n 2

Possiamo anche considerare macchine con divisioni, ad esempio n = n / 2 , ma in questo

caso se vogliamo rimanere in N dobbiamo prendere solo i numeri pari.

•

Una funzione molto particolare è la relazione m = n 0 che è una funzione costante

che associa ad ogni elemento del dominio N sempre e solo lo zero nel codominio.

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Dominio

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Codominio

m = n 0

*

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C. De Fusco Relazioni e loro proprietà 9

PROPRIETA' DELLE RELAZIONI IN UN INSIEME

Un esempio tipico di relazioni all'interno di un certo insieme sono le relazioni di

parentela in un paese o in una borgata.

Per avere una relazione occorre avere un predicato a due posti, del tipo:

" ...... è padre di ...... " ;

Per rendere vera la relazione dobbiamo scegliere, tra tutte le possibili coppie di nomi di

abitanti della borgata, quelle opportune.

Quando si lavora con una relazione in un insieme, siamo nell'ottica del confronto degli

elementi dell'insieme .

Per poter definire le principali proprietà di cui può godere una relazione, consideriamo

1, 

l'insieme I = 2, 3, 5, 6 e le relazioni che seguono. (1,

Sia R la relazione rappresentata dalle coppie dell'insieme I = 1), (2, 2), (3, 3), (5,

I 2

5), (6, 6), (5, 1), (3, 6), (6, 2) .

Rappresentiamo RI con il diagramma a frecce e con il reticolo cartesiano.

I 6

5

I .1 3

.2 .5 2

1

.3 .6 1 2 3 5 6 I

Dalle coppie formate da elementi uguali, si nota che ogni elemento di I è in relazione

con se stesso.

Nel diagramma a frecce questo è evidenziato da una freccia che lega ogni elemento con

se stesso.

Nel reticolo cartesiano notiamo che tutti i punti della diagonale di I x I appartengono

all'insieme I .

2

Una relazione di questo tipo, cioè tale che ogni elemento dell'insieme è in relazione con

se stesso, si dice che ha la proprietà riflessiva oppure che è una relazione riflessiva e

si indica in questo modo:

∈

x R x, per ogni x I (x è in relazione con x , per ogni x che appartiene all'insieme I ).

Una relazione in un insieme, invece, non ammette la proprietà riflessiva se e soltanto se

almeno un elemento dell'insieme non è in relazione con se stesso.

1 Carmine De Fusco – Venaria Reale – cadefu@libero.it (2,

Sia R la relazione rappresentata dalle coppie dell'insieme I = 1), (3, 1), (3, 2),

II 3 www.matematicamente.it

C. De Fusco Relazioni e loro proprietà 10



(5, 3), (5, 2), (5, 1), (6, 5), (6, 2), (6, 1), (6, 3) .

Rappresentiamo R con il diagramma a frecce e con il reticolo cartesiano.

II I 6

I 5

.1

.2 .5 3

.3 .6 2

1 1 2 3 5 6 I

Notiamo che se un elemento a di I è in relazione con un elemento b di I e b è in

relazione con un elemento c di I , allora a è in relazione con c.

Nel diagramma a frecce questo è evidenziato ad esempio dalla freccia che lega

l'elemento 6 con l'elemento 5, il 5 con l'1 e infine 6 con 1 .

Nel reticolo cartesiano si nota che sono stati presi tutti i punti si trovano al disotto della

diagonale principale (ma invertendo tutte le coppie di elementi, cioè tutte le frecce, i punti

sarebbero tutti al disopra).

Una relazione di questo tipo si dice che ha la proprietà transitiva oppure che è una

relazione transitiva e si indica così:

⇒

a R b e b R c a R c (se un elemento a è in relazione con un elemento b, e b

è in relazione con un elemento c, allora a è in relazione con c.

Una relazione in un insieme, invece, non gode della proprietà transitiva se e solo se

nell'insieme esiste almeno una terna di elementi distinti per cui il 1° è in relazione con il

2° e il 2° con il 3°, mentre il 1° non è in relazione con il 3°.

Esempi sulla proprietà transitiva in un insieme:

a) Consideriamo la relazione " ...... ha lo stesso numero di cifre di ...... " e le

proposizioni:

1) 85 ha lo stesso numero di cifre di 64; 85

2) 64 ha lo stesso numero di cifre di 28. 64

Per poter affermare che questa relazione

 

nell'insieme A = 85, 64, 28 è transitiva, 28

dobbiamo poter chiudere il diagramma

con una terza freccia che collega il 1° e

il 3° numero.

b) Consideriamo la relazione "...... è maggiore di ......" e le proposizioni:

a) 7 è maggiore di 5;

b) 5 è maggiore di 3. 7

7, ,

Nell'insieme B = 5, 3 questa relazione, 5

come la precedente, gode della proprietà

transitiva. 3

Torino,

c) Consideriamo l'insieme C = Asti, www.matematicamente.it

C. De Fusco Relazioni e loro proprietà 11



Alessandria e la relazione " ...... è collegato Torino

a ...... ". Asti

Alessandria

(1,

Consideriamo ora la relazione R , individuata dall'insieme I = 5), (2, 3), (5,1),

III 4



(3, 2), (2, 2), (3, 6), (6, 3) .

Costruiamo il diagramma a frecce e il reticolo cartesiano.

I 6

I 5

.1

.2 .5 3

.3 .6 2

1 1 2 3 5 6 I

Nel diagramma a frecce notiamo che quando un elemento è legato ad un altro con una

freccia, quest'ultimo è legato al primo con una freccia di ritorno.

Nel reticolo cartesiano si nota che tutti i punti della relazione R sono simmetrici rispetto

III

alla diagonale principale.

Una relazione di questo tipo, cioè tale che se un elemento x è in relazione con un

elemento y, allora y è in relazione con x, si dice che ha la proprietà simmetrica

oppure che è simmetrica e si indica così :

∈ ⇒

per ogni (x , y ) I , se x R y y R x .

Una relazione in un insieme, invece, non è simmetrica se esiste almeno una coppia di

elementi dell'insieme tali che il 1° è in relazione con il 2°, ma il 2° non è in relazi