Geometria analitica - Nozioni di base

In questo appunto di matematica vengono illustrate le nozioni base della geometria analitica di punti e rette (in allegato è presente un documento che riassume tutto); vengono affrontati i seguenti argomenti:

1. distanza tra due punti;


2. coordinate del punto medio di un segmento;


3. equazione - implicita e esplicita - di una retta;


4. equazione esplicita della retta passante per l'origine degli assi cartesiani;


5. rette parallele agli assi cartesiani;


6. equazione assi cartesiani;


7. punti di intersezione di una retta con gli assi cartesiani;


8. rette parallele e perpendicolari;


9. intersezione tra due rette;


10. procedimento per calcolare la distanza di un punto da una retta;


11. procedimento per calcolare la distanza tra due rette parallele.

Geometria analitica: i punti

1) Distanza tra due punti:
Assegnate le coordinate di due punti (),(), la loro distanza (d) si trova con la seguente formula:



2) Coordinate del punto medio di un segmento:
Assegnate le coordinate di due punti (),(), il punto medio () del segmento che li unisce ha coordinate:

Geometria analitica: le rette

3)Equazione di una retta:
Forma implicita:

Forma esplicita:


Ponendo:




Diviene:


4) Equazione esplicita della retta passante per l’origine degli assi Cartesiani:



5) Rette parallele agli assi cartesiani:
Parallela asse x: (, quindi )
Parallela asse y: (, quindi )


6) Equazione assi cartesiani:
Asse x:

Asse y:


7) Punti di intersezione di una retta con gli assi cartesiani:
Consideriamo la retta:

Si pone:

E si ottiene l’intersezione con l’asse x:



Se si pone:

Si ottiene l’intersezione con l’asse y:


8) Rette parallele e perpendicolari:
Si considerano le seguenti rette:




Se allora le rette sono parallele

Se allora le rette sono perpendicolari.


9) Intersezione tra due rette:
Si considerano le seguenti due rette:





Il punto di intersezione si determina mettendo a sistema le due equazioni:


Per ulteriori approfondimenti sulla risoluzione dei sistemi di equazioni vedi anche qua

10) Procedimento per calcolare la distanza di un punto da una retta:
Consideriamo un punto P() nel piano cartesiano una retta ; si vuole calcolare la distanza tra il punto e la retta.
La distanza si costruisce tracciando la retta perpendicolare alla retta data e passante per il punto P, la distanza di tale punto sulla retta con il punto P è proprio la distanza punto retta che si vuole trovare; per determinare il procedimento seguiamo il percorso che abbiamo descritto per costruire la situazione.

• Determiniamo una retta perpendicolare a quella assegnata e passante per il punto P.
  Due rette perpendicolari sono tali se:
  
  [math]m \cdot m’ = -1 [/math]
  
  
  Da tale relazione noto m posso trovare m’ cioè la pendenza della retta su cui giace la distanza tra la retta e il punto.


• La retta su cui giace la distanza che si vuole trovare ha quindi pendenza m’ e passa per il punto P(
  [math]x_P,y_P[/math]
  ).
  Un punto appartiene ad una retta se le sue coordinate, inserite nell’equazione della retta, la soddisfano.
  Deve cioè risultare:
  
  [math]y_P =m’x_P +n’[/math]
  
  Da tale relazione posso trovare n’.


• Una volta determinata questa retta, mettendo a sistema la sua equazione con quella della prima, si determina il loro punto di intersezione:
  [math]C (x_c, y_c)[/math]
  
  
  
  [math]\begin{cases}
  y = mx + n \\
  y = m’x + n’ \end{cases}
  [/math]


• Determinando la distanza tra questo punto e il punto assegnato P, si ricava la soluzione dell’esercizio:
  
  [math]d = \sqrt {[(x_P-x_C)^2+(y_P-y_C)^2]}[/math]

11) Procedimento per calcolare la distanza tra due rette parallele:
Si considerano le seguenti due rette:





Essendo parallele, le due rette hanno il medesimo coefficiente angolare.
Occorre determinare la retta perpendicolare ad entrambe:
Due rette perpendicolari sono tali se:


Da tale relazione posso determinare m’.

Il termine noto k, può avere invece qualsiasi valore, perché la retta perpendicolare alle due rette può trovarsi in ogni punto su di esse e inoltre la distanza tra le due rette perpendicolari è sempre la stessa indipendentemente dal punto in cui ci determina la distanza.
Si ottiene quindi una retta perpendicolare alle prime due che ha la seguente espressione:


Mettendo a sistema questa retta con la prima, si determina il loro punto di intersezione, a meno di k.




Mettendo poi a sistema la retta perpendicolare anche con la seconda, si determina anche il loro punto di intersezione, a meno di k.


Determinando la distanza tra questi due punti applicando la seguente formula, si ricava la soluzione dell’esercizio (a meno di k):


Per ulteriori approfondimenti sulle rette parallele e perpendicolari vedi anche qua