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Rette:

y = mx + n

y = m’x + n’

m = m’ → rette parallele

m· m’ = -1 → rette perpendicolari.

9) INTERSEZIONE TRA DUE RETTE:

Vengono assegnate:

y = mx + n

y = m’x + n’

Il punto di intersezione si determina mettendo a sistema le due equazioni.

10) PROCEDIMENTO PER CALCOLARE LA DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA:

P (x , y )

P P

y = mx + n

Determiniamo una retta perpendicolare a quella assegnata e passante per il punto P.

Due rette perpendicolari sono tali se:

m· m’ = -1 → determino m’.

Un punto appartiene ad una retta se le sue coordinate, inserite nell’equazione della retta,

la soddisfano. Deve cioè risultare:

= m’ x + n’

y → determino n’.

P P

Una volta determinata questa retta, mettendo a sistema la sua equazione con quella della

prima, si determina il loro punto di intersezione:

C (x , y )

c c

Determinando la distanza tra questo punto e il punto assegnato P, si ricava la soluzione

dell’esercizio:

d = √[(x - x )² + (y - y )²]

P C P C

11) PROCEDIMENTO PER CALCOLARE LA DISTANZA TRA DUE RETTE PARALLELE:

Vengono assegnate:

y = mx + n

y = mx + n’

Essendo parallele, le due rette hanno il medesimo coefficiente angolare.

Occorre determinare la retta perpendicolare ad entrambe:

Due rette perpendicolari sono tali se:

m· m’ = -1 → determino m’. 2

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Geometria analitica - Nozioni di base Pag. 1
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Sintesi
In questo appunto di matematica vengono illustrate le nozioni base della geometria analitica di punti e rette (in allegato è presente un documento che riassume tutto); vengono affrontati i seguenti argomenti:
  1. distanza tra due punti;
  2. coordinate del punto medio di un segmento;
  3. equazione - implicita e esplicita - di una retta;
  4. equazione esplicita della retta passante per l'origine degli assi cartesiani;
  5. rette parallele agli assi cartesiani;
  6. equazione assi cartesiani;
  7. punti di intersezione di una retta con gli assi cartesiani;
  8. rette parallele e perpendicolari;
  9. intersezione tra due rette;
  10. procedimento per calcolare la distanza di un punto da una retta;
  11. procedimento per calcolare la distanza tra due rette parallele.

Geometria analitica: i punti

1) Distanza tra due punti: Assegnate le coordinate di due punti (
[math]x_1,y_1[/math]
),(
[math]x_2,y_2[/math]
), la loro distanza (d) si trova con la seguente formula:
[math]d = \sqrt{[(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2]}[/math]
2) Coordinate del punto medio di un segmento: Assegnate le coordinate di due punti (
[math]x_1,y_1[/math]
),(
[math]x_2,y_2[/math]
), il punto medio (
[math]x_m,y_m[/math]
) del segmento che li unisce ha coordinate:
[math]x_m = \frac{(x_1+x_2)}{2}[/math]
[math]y_m = \frac{(y_1+y_2)}{2}[/math]

Geometria analitica: le rette

3)Equazione di una retta: Forma implicita:
[math]a \cdot x + by + c = 0[/math]
Forma esplicita:
[math]y = -\frac{a}{b} \cdot x – \frac{c}{b}[/math]
Ponendo:
[math]–\frac{a}{b} = m[/math]
[math]-\frac{c}{b} = n [/math]
Diviene:
[math]y = m \cdot x + n[/math]
4) Equazione esplicita della retta passante per l’origine degli assi Cartesiani:
[math]y = m \cdot x ; (n = 0) [/math]
5) Rette parallele agli assi cartesiani: Parallela asse x:
[math]y = k[/math]
(
[math]m \cdot x=0[/math]
, quindi
[math]y= n = k[/math]
) Parallela asse y:
[math]x = k[/math]
(
[math]y=0[/math]
, quindi
[math]x = -n/m = k[/math]
) 6) Equazione assi cartesiani: Asse x:
[math]y = 0[/math]
Asse y:
[math]x = 0[/math]
7) Punti di intersezione di una retta con gli assi cartesiani: Consideriamo la retta:
[math]y = mx + n [/math]
Si pone:
[math]y = 0 [/math]
E si ottiene l’intersezione con l’asse x:
[math]x = -\frac{n}{m} [/math]
Se si pone:
[math]x=0[/math]
Si ottiene l’intersezione con l’asse y:
[math]y=n[/math]
8) Rette parallele e perpendicolari: Si considerano le seguenti rette:
[math]y = mx + n[/math]
[math]y = m’x + n’[/math]
Se
[math]m = m’[/math]
allora le rette sono parallele Se
[math]m· m’ = -1[/math]
allora le rette sono perpendicolari. 9) Intersezione tra due rette: Si considerano le seguenti due rette:
[math]y = mx + n [/math]
[math]y = m’x + n’[/math]
Il punto di intersezione si determina mettendo a sistema le due equazioni:
[math]\begin{cases} y = mx + n \\ y = m’x + n’ \end{cases}[/math]
Per ulteriori approfondimenti sulla risoluzione dei sistemi di equazioni vedi anche qua 10) Procedimento per calcolare la distanza di un punto da una retta: Consideriamo un punto P(
[math]x_P,y_P[/math]
) nel piano cartesiano una retta
[math]y = mx + n[/math]
; si vuole calcolare la distanza tra il punto e la retta. La distanza si costruisce tracciando la retta perpendicolare alla retta data e passante per il punto P, la distanza di tale punto sulla retta con il punto P è proprio la distanza punto retta che si vuole trovare; per determinare il procedimento seguiamo il percorso che abbiamo descritto per costruire la situazione.
  • Determiniamo una retta perpendicolare a quella assegnata e passante per il punto P. Due rette perpendicolari sono tali se:
    [math]m \cdot m’ = -1 [/math]
    Da tale relazione noto m posso trovare m’ cioè la pendenza della retta su cui giace la distanza tra la retta e il punto.
  • La retta su cui giace la distanza che si vuole trovare ha quindi pendenza m’ e passa per il punto P(
    [math]x_P,y_P[/math]
    ). Un punto appartiene ad una retta se le sue coordinate, inserite nell’equazione della retta, la soddisfano. Deve cioè risultare:
    [math]y_P =m’x_P +n’[/math]
    Da tale relazione posso trovare n’.
  • Una volta determinata questa retta, mettendo a sistema la sua equazione con quella della prima, si determina il loro punto di intersezione:
    [math]C (x_c, y_c)[/math]
    [math]\begin{cases} y = mx + n \\ y = m’x + n’ \end{cases} [/math]
  • Determinando la distanza tra questo punto e il punto assegnato P, si ricava la soluzione dell’esercizio:
    [math]d = \sqrt {[(x_P-x_C)^2+(y_P-y_C)^2]}[/math]
11) Procedimento per calcolare la distanza tra due rette parallele: Si considerano le seguenti due rette:
[math]y = mx + n [/math]
[math]y = mx + n’ [/math]
Essendo parallele, le due rette hanno il medesimo coefficiente angolare. Occorre determinare la retta perpendicolare ad entrambe: Due rette perpendicolari sono tali se:
[math]m \cdot m’ = -1 [/math]
Da tale relazione posso determinare m’. Il termine noto k, può avere invece qualsiasi valore, perché la retta perpendicolare alle due rette può trovarsi in ogni punto su di esse e inoltre la distanza tra le due rette perpendicolari è sempre la stessa indipendentemente dal punto in cui ci determina la distanza. Si ottiene quindi una retta perpendicolare alle prime due che ha la seguente espressione:
[math]y=m’x+k[/math]
Mettendo a sistema questa retta con la prima, si determina il loro punto di intersezione, a meno di k.
[math]\begin{cases} y = mx + n \\ y = m’x + k \end{cases}[/math]
Mettendo poi a sistema la retta perpendicolare anche con la seconda, si determina anche il loro punto di intersezione, a meno di k.
[math]\begin{cases} y = mx + n’ \\ y = m’x + k \end{cases}[/math]
Determinando la distanza tra questi due punti applicando la seguente formula, si ricava la soluzione dell’esercizio (a meno di k):
[math]d = \sqrt {[(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2]}[/math]
Per ulteriori approfondimenti sulle rette parallele e perpendicolari vedi anche qua
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