Geometria nella mente, geometrie degli spazi

Liceo Scientifico Statale E. Fermi

Anno scolastico 2006/2007

Classe V Sezione C

Geometria nella mente, geometrie degli spazi

Dalla crisi dei fondamenti della matematica alla relatività di Einstein

di

Andrea Gaudiello

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“La geometria richiede - come anche l'aritmetica - per venire fondata in modo coerente, solo poche, semplici proposizioni fondamentali. Queste proposizioni fondamentali si chiamano gli assiomi della geometria. L'esposizione degli assiomi della geometria e l'indagine sui loro mutui rapporti costituiscono un problema che è stato discusso sin dai tempi di Euclide, in numerosi ottimi trattati della letteratura matematica. Il problema indicato porta all'analisi logica della nostra intuizione dello spazio.” D. Hilbert, Fondamenti della Geometria, 1900

“La matematica è quella scienza di cui non si sa di che cosa si parla e non si sa se quello che si dice sia vero o falso”

Bertrand Russell, Principia Mathematica

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Sommario

Introduzione....................................................................- 3 -

In principio era Euclide ...................................................... - 3 -

Il problema del postulato ............................................. - 4 -

Possibili geometrie non euclidee ......................................... - 5 -

Geometria nella mente............................................- 6 -

Perché geometria nella mente ........................................... - 6 -

Breve digressione filosofica: Immanuel Kant ................... - 6 -

Approccio matematico ............................................................ - 8 -

La geometria iperbolica ....................................................... - 10 -

Lobacevskij .............................................................................- 11 -

Geometrie degli spazi..............................................- 13 -

La relatività generale .......................................................... - 13 -

La gravità e la curvatura dello spazio .............................- 15 -

La curvatura dello spazio ................................................... - 16 -

Le onde gravitazionali ......................................................... - 17 -

Conferme sperimentali

......................................................... - 17 -

Geometria nella mente, geometrie degli spazi, come geometria della crisi

.......................................................................................- 19 -

Introduzione

..........................................................................- 19 -

Breve storia della logica matematica da Boole a Russell

.................................................................................... - 19 -

Programma di Hilbert

.......................................................... - 24 -

I limiti dei sistemi formali di Gödel e i teoremi d'incompletezza

....................................................................- 24 -

Primo teorema d'incompletezza .............................................- 25 -

Secondo teorema di incompletezza.........................................- 25 -

Bibliografia....................................................................- 27 -

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Introduzione

γ

ε

ωμε

τ

ρί

αed

La parola “geometria” deriva dal greco antico ed è composta da

γ

ε

ω

, Geo με

τ

ρί

α metria

che significa "terra" e, che vuol dire "misura", misurazione della terra.

Quindi, letteralmente, misurazione della terra.

Nel corso dei secoli è venuta però assumere un significato più complesso, oggi possiamo infatti parlare non solo di geometria riferita ad un piano e ad uno spazio ma anche di geometria del tempo o meglio, di geometria spazio-temporale e di geometrie non euclidee.

Proprio su quest’ultime ci soffermeremo in particolar modo, passando attraverso la matematica, l’arte e la filosofia, ma anche la logica e la fisica.

In principio era Euclide… ῖ

1

Elementi Στοιχεῖα

La compilazione degli Elementi (in greco) è da collocarsi presumibilmente attorno al 300 a.C., essi rappresentano la sintesi di trecento anni di ricerca della matematica greca.

I principali meriti di quest’ultima possono essere riassunti schematicamente in due punti:

• Lo svincolamento della geometria dalla materia, infatti prima di Talete (vissuto intorno al 600 a.C.) gli enti geometrici non erano idealizzati, ma rappresentati in oggetti materiali. Il merito del pensiero greco fu dunque la capacità di renderli oggetti astratti.
• L’introduzione del procedimento dimostrativo, il quale permise di condurre le dimostrazioni mediante il metodo deduttivo.

Euclide, negli Elementi, si concentrò soprattutto sulla definizione degli

2

assiomi, i quali erano sostanzialmente ciò che il matematico alessandrino intendeva per gli enti geometrici fondamentali (per esempio punto, linea e piano).

I cinque postulati sono invece assunzioni, la cui evidenza non risulta immediata, essi si devono accogliere senza dimostrazione al fine di svolgere un sicuro ragionamento deduttivo.

Essi postulano, ovvero domandano:

1. Che da qualsiasi punto si possa condurre una retta ad ogni altro punto;
2. Che ogni retta terminata si possa prolungare continuamente per diritto;
3. Che con ogni centro e ogni distanza si possa descrivere un cerchio;
4. Che tutti gli angoli retti sono uguali tra loro;

1

In greco Stoicheia. Sono un trattato di matematica composto di tredici libri concernenti la geometria piana, le proporzioni, le proprietà dei numeri, le grandezze incommensurabili e la geometria dei solidi. Frutto dell'applicazione sistematica del metodo deduttivo, gli Elementi di Euclide sono stati utilizzati per duemila anni come manuale didattico.

2 Normalmente questa parola viene erroneamente usata come sinonimo di “postulato”, la distinzione tra assioma e postulato è alla base della geometria euclidea, in quanto il primo termine designa i principi fondamentali assunti in tutti i sistemi deduttivi, mentre con il secondo si indicano i principi veri per un sistema particolare, per appunto quello euclideo.

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5. Che se una retta, incontrandone altre due, forma gli angoli interni da una stessa parte minori di 2 retti, le due rette prolungate all’infinito s’incontreranno nella parte in cui gli angoli sono minori dei due retti (fig. 1).

I postulati sopra citati, come mise bene in luce la critica ottocentesca, sono però incompleti e il loro interesse oggigiorno risulta prevalentemente storico.

Per Euclide inoltre era ben definita la linea di demarcazione tra il concetto di assioma e quello di postulato, tuttavia nella moderna impostazione della geometria avvenuta nel 1899 grazie a David Hilbert questi sono indistinguibili.

Gli assiomi euclidei sono i seguenti:

1. Cose uguali a una stessa sono uguali tra loro.
2. Se a cose uguali sono tolte da cose uguali, si ottengono ancora cose uguali.
3. Se a cose uguali sono aggiunte cose uguali, si ottengono ancora cose uguali.
4. Cose che coincidono tra loro sono uguali.
5. Il tutto è maggiore della parti.

Anche gli assiomi, come i postulati, furono oggetto di numerose critiche: una fra tutte, che significato dare al verbo “coincidere”?

Probabilmente lo stesso Euclide accettava il punto di vista di Aristotele, il quale affermava che i postulati e gli assiomi andassero verificati con l’esperienza, quindi questi venivano trattati come “ipotesi” da confrontare nella realtà, nonostante questo, i greci avevano ben chiara la distinzione tra astrazione e mondo fisico.

Il “problema” del V postulato

Come già indicato in precedenza il V

“se

postulato di Euclide asserisce che:

una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno a

incontrarsi da quella parte in cui sono

3

gli angoli minori di due retti”.

L’ultimo postulato risulta quindi meno immediato dei precedenti quattro, infatti, se due rette r e s formano con la loro trasversale t angoli la cui somma è esigua, risulterà ovvio che le due rette s’incontreranno in un punto

P.

3 Euclide, Elementi -4-

Teniamo ora fisse le rette t e s e facciamo ruotare r in senso antiorario intorno a B, il postulato afferma che r continuerà a incontrare s finché

α

+β

<180°.

Si può notare però che al ruotare di r il punto P si allontana sempre più da A su s, finendo per uscire dal foglio e quindi cessando conseguentemente di essere osservabile. Ne deriva che non è più possibile notare che la retta r non abbia più un punto in comune con s quando +β

=180°.

(Vedi fig. 1)

Questo è uno dei motivi per cui il V postulato risulta poco evidente, in quanto non si possono fornire le grandezze degli angoli solamente con un certo grado di approssimazione.

Esistono, oltre alla già sopra citata, altre formulazioni del V postulato, successive a Euclide, la più nota è forse quella data dal filosofo greco Proclo nel quinto secolo d.C. e ripresa successivamente dal matematico scozzese John Playfair nel XVIII secolo, la quale asserisce che:

“Data una qualsiasi retta r e un punto P non appartenente ad essa, è possibile tracciare per P una e una sola parallela alla retta data”.

Da non dimenticare è la definizione data da Girolamo Saccheri (1667-1733) che nella sua opera Euclides ab omni naevo vindicatus, sive conatus geometricus quo stabiliuntur prima ipsa universae geometriae pricipia

ABCD,

afferma che se in un quadrilatero avente gli angoli ABCD retti ed i lati uguali, allora anche gli altri due angoli sono retti.

Per concludere, possiamo affermare che il V postulato è veramente indimostrabile a partire dai primi quattro postulati di Euclide, e che le ipotesi di Padre Saccheri portano a tre diverse geometrie: rispettivamente quella di Euclide, quella di Bolyai-Lobacevskij e quella di Riemann.

Possibili geometrie non euclidee

Esistono a seconda della negazione del V postulato di Euclide due principali possibilità di geometria, infatti otteniamo:

1. La geometria ellittica riemaniana della sfera se scelto un punto P fuori dalla retta r non esistono parallele per P a r, in altre parole tutte le rette per P intersecano r;
2. La geometria iperbolica se, dati un piano e una retta e un punto esterno, per il punto passano almeno due rette che non incontrano la retta data.

Ritornando al capitolo successivo per una visione più approfondita dei due postulati sopra citati.

4 (Николай Иванович

Assioma del matematico russo Nikolai Ivanovich Lobachevsky

Лобаче́вский), che diede vita al modello iperbolico di geometria.

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Geometria nella mente

Perché geometria nella mente?

Il concetto di geometria non euclidea compare nel momento in cui si rinuncia alla naturale idea che i concetti espressi dalle geometria siano solamente una descrizione di oggetti e fenomeni del mondo fisico. Questo è dovuto al fatto che la geometria euclidea si basa su ipotesi verificabili nella realtà, nel momento in cui una di queste dovesse venire meno si produrrebbe un modello geometrico diverso da quello reale e quindi conseguentemente non riscontrabile. Il passaggio concettuale dinnanzi a cui ci troviamo è molto sottile, per esempio, la definizione di retta è un modo utile di parlare di fili tesi o i fili tesi sono un modello utile delle rette?

Se considerassimo vera la prima ipotesi, i teoremi geometrici sulle rette sarebbero semplicemente una tecnica per indagare sui fili tesi e sulle loro proprietà.

Viceversa, se considerassimo vera la seconda, otterremmo che le proprietà delle rette dovranno essere dedotte dai postulati e non più o meno evidenti proprietà dei fili tesi...

Geometria nella mente, quindi, in quanto distaccata dalla “normale” e comune idea di realtà, assoluta nel significato etimologico della parola. Le geometrie non euclidee sono prive di contraddizioni logiche al loro interno, nonostante spesso risultino controintuitive e apparentemente sistemi a sé, anche se come vedremo esse troveranno diverse applicazioni nel Novecento, ma questa è tutta un’altra storia…

Breve digressione filosofica: Immanuel Kant

“Tempo e spazio sono pertanto due fonti del conoscere, dalle quali possono essere attinte varie conoscenze sintetiche, come segnatamente ce ne a priori da uno splendido esempio la matematica pura, rispetto alla conoscenza dello spazio e dei suoi rapporti. Essi cioè sono, tutte e due, forme pure di tutte le intuizioni sensibili; e così rendono possibili proposizioni sintetiche a priori”.

(Immanuel Kant, CRP, Estetica Trascendentale §7)

Con queste parole il filosofo tedesco Immanuel Kant afferma, nel 1781, la possibilità di pensare il tempo e lo spazio esclusivamente come intuizioni pure a priori; infatti solamente in questo modo, si può spiegare e giustificare la possibilità di concepire la matematica pura.

Come scrive nei Prolegomeni ad ogni futura metafisica, la matematica deve costruirli, prima rappresentare tutti i suoi concetti, ossia nell’intuizione. La geometria pone a fondamento l’intuizione pura dello spazio.

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Erroneamente viene attribuita a Kant una visione euclidea dello spazio, il filosofo di Königsberg, 5 come spiega bene Piero Martinetti, aveva preveduto una Scienza di tutte le forme possibili dello spazio prevedendo altre eventuali forme dell’intuizione.

Il Martinetti continua inoltre riportandoci l’opinione di Georg Rimmel, che riprende perfettamente la precedentemente descritta:

“Gli assiomi geometrici sono così poco necessari logicamente come la legge causale; si possono pensare spazi, e quindi geometrie, in cui valgono tutt'altri assiomi che i nostri, come ha mostrato la geometria non euclidea nel secolo dopo Kant. Ma essi sono incondizionatamente necessari per la nostra esperienza, perché essi solamente la costituiscono. Helmholtz errò quindi completamente nel considerare la possibilità di rappresentarci senza contraddizione spazi nei quali non valgono gli assiomi euclidei come una confutazione del valore universale e necessario di questi, da Kant affermato. Infatti l'apriorità kantiana significa solo universalità e necessità per il mondo della nostra esperienza, una validità non logica, assoluta, ma ristretta alla cerchia del mondo sensibile. Le geometrie antieuclidee varrebbero a confutare l'apriorità dei nostri assiomi solo quando qualcuno fosse riuscito a raccogliere le sue esperienze in uno spazio pseudo-sferico, o a riunire le sue sensazioni in una forma di spazio nel quale non valesse l'assioma delle parallele”.

Le geometrie non euclidee vengono quindi scorrettamente definite un “corpo mortale” inferto alla filosofia kantiana, e costituiscono un pretesto per eliminare il ruolo dell’intuizione geometrica.

«In un certo senso possiamo affermare che la scoperta della geometria non euclidea inferse un colpo mortale alla filosofia kantiana, paragonabile alle conseguenze che la scoperta di grandezze incommensurabili ebbe per il pensiero pitagorico» . 8

"Sciocchezza filosofica”

Fa eco a tale autentica il noto testo divulgativo di

«l'esistenza della geometria non euclidea rende

9

Herbert Meschkowski:

impossibile all'uomo moderno di restare fermo alla concezione spaziale di Platone e di Kant».

5 Lezioni su Kant, svolte presso l'Università di Torino tra il 1924 e il 1927; Feltrinelli, Milano, 1968, p. 47.

6 Sarà trattato nei paragrafi successivi.

7 Carl B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & Sons, New York, 1968; trad. it.