Questione di geometria, tesina

MODELLO DI KLEIN DI GEOMETRIA IPERBOLICA

Felix Klein: Matematico tedesco (Düsseldorf 1849 - Gottinga 1925).

Data una circonferenza T si chiama:

Punto di Klein un qualunque punto P, interno a T;

Retta di Klein una qualunque corda AB di T, esclusi gli

estremi;

Piano di Klein l’insieme dei punti interni a T.

Inoltre: Due rette di Klein si dicono incidenti se hanno in comune un

punto di Klein.

Due rette di Klein si dicono parallele se hanno in

comune un punto di T.

Si può dimostrare che questi enti (punti, rette, piano di Klein) verificano gli assiomi della geometria

euclidea, escluso l’assioma delle parallele; vale invece la seguente proprietà:

In un piano esistono almeno due rette, passanti per un punto e parallele a una data retta.

GEOMETRIA ELLITTICA DI RIEMANN

Un altro tipo di geometria non euclidea venne individuato dal tedesco

Bernhard Riemann (1826,1866) in cui il quinto postulato di Euclide è

riformulato in modo da affermare la non esistenza di parallele ad una

retta passanti da un punto esterno ad essa .

Il postulato di Euclide viene pertanto invalidato dall’introduzione di

questo nuovo assioma e a seconda delle modifiche che si apportano agli

assiomi, si possono originare o la geometria ellittica semplice o la

geometria ellittica doppia (più conosciuta come geometria sferica).

Le due geometrie sono strettamente legate l’una all’altra, infatti limitandosi a considerazioni di

carattere locale le due geometrie possono essere considerate coincidenti.

Prendendo in considerazione come piano la superficie della sfera, come punto un punto della

superficie sferica e come retta una circonferenza massima:

“Partendo dall' ipotesi che due rette in un piano hanno sempre almeno un punto in comune e che quindi in

un piano non si può condurre (nel senso euclideo del termine) una retta parallela ad un'altra, per un punto

ad essa esterno, si può arrivare a dimostrare che tutte le perpendicolari ad una retta r da una stessa parte

di essa, passano per un punto P, equidistante da ogni punto di r.

Se immaginiamo, poi, tutte le rette della parte opposta,

possiamo notare che queste si incontrano tutte in un punto

P', con le stesse caratteristiche di P.

Al problema di sapere se P ed P' coincidono possiamo dare

due risposte:

- P ed P' non coincidono, ma sono due punti distinti: due

rette hanno perciò sempre due punti in comune e si

intersecano in una coppia di punti distinti: questo sistema

viene chiamato Geometria sferica, ed è assimilabile alla

geometria euclidea della sfera se per "rette" assumiamo le

circonferenze massime.

- P ed P' coincidono: due rette si incontrano in un solo punto

e due punti distinti individuano una sola retta: questo

secondo sistema viene chiamato Geometria ellittica semplice.”

QUADRO STORICO

Formulate nell’ Ottocento, le geometrie non euclidee hanno massima diffusione negli anni a

cavallo tra il già citato XIX e il XX secolo. Per l’Europa questo è un momento di fermento.

L’industria vede cambiare le sue materie prime: al ferro e al carbone vengono sostituiti il

petrolio, l’elettricità e l’acciaio, dando così origine ad una industria pesante che veniva sostituita

a quella leggera; i settori trainanti diventarono le industrie siderurgiche, chimiche, elettriche e

poco più tardi anche quelle automobilistiche.

Nacque anche l’esigenza di abbattere i limiti naturali dando così sviluppo alle comunicazioni; si

costruirono ponti, reti ferroviarie, si apportarono miglioramenti alla navigazione marittima e ai

mezzi di trasporto, al 1871 risale il traforo alpino del Fréjus e al 1882 quello del San Gottardo,

infine nel 1869 si costruì il Canale di Suez nel Mediterraneo.

Sviluppo e benessere economico diventavano in quel momento le parole chiave, e la scienza, che

aveva contribuito a tutto ciò, assunse un ruolo centrale (corrente del positivismo). Ci fu però una

prima crisi (“grande depressione”) nel 1873 che si protrasse per circa un ventennio e dovuta

principalmente alla sovrapproduzione dei beni. Per conseguenza

o Molti contadini dei paesi europei più poveri emigrarono verso Inghilterra, Francia, ma

soprattutto verso gli Stati Uniti e l’ America del Sud.

o I governi abbandonarono politiche economiche liberiste e adottarono provvedimenti di

tipo protezionistico per favorire l’economia interna.

o Le banche, oltre svolgere la funzione di deposito, divennero istituti di credito

commerciale e di finanziamento delle attività industriali.

o Le industrie per non farsi concorrenza si unirono formando trust (soprattutto in Stati Uniti

e Germania), si passò così dal capitalismo concorrenziale a un capitalismo monopolistico:

un solo venditore e molti compratori.

Conseguenza principale di questa seconda rivoluzione industriale fu la grande espansione della

classe operaia e quindi delle organizzazioni politiche e sindacali finalizzate a ottenere

miglioramenti e garanzie nel campo del lavoro (aumenti salariali, riduzione degli orari,

limitazione dello sfruttamento delle donne e dei bambini.. etc.) .

Infine nel corso degli ultimi anni dell’Ottocento prese avvio la nuova rivoluzione scientifica

caratterizzata dalla scoperta della radioattività, dalla formulazione della teoria dei quanti di Max

Planck (1899) e della teoria della relatività di Albert Einstein (tra 1905 e 1917) che fecero

traballare l’edificio delle scienze esatte, per cui la cultura positivistica e la sua fiducia illimitata

sulla scienza lasciavano ora insoddisfatti. Nacquero nuove correnti filosofiche più attente

all’irrazionalità e all’interiorità dell’uomo che alla realtà oggettiva; ad esempio Friedrich

Nietzsche vedeva nella razionalità un ostacolo alla libera espressione della vita o Sigmund Freud

con il suo studio dell’inconscio. Non c’è ramo della matematica,

per quanto astratto, che non

possa essere applicato un giorno

a fenomeni del mondo reale.

(Nikolay Ivanovič Lobačevskij)

IPOTESI SUL FUTURO DELL’UNIVERSO

L’universo si sta espandendo, ma quale sarà il suo destino? Fattore determinante per il futuro

dell’universo è la densità, strettamente collegata alla quantità di materia, che a sua volta

determina l’intensità della forza di attrazione gravitazionale.

La forza di attrazione gravitazionale ha il ruolo centrale di rallentare l’allontanamento delle

galassie.

Lo spettro a righe delle galassie, infatti, come si scoprì tra il 1910 e il 1925, dimostra, riportando

un red-shift, ossia uno spostamento delle righe verso il rosso, che le galassie sono in

allontanamento. Inoltre, Edwin Powell Hubble dimostrò che le righe spettrali sono tanto più

spostate verso lunghezze d’onda maggiori quanto maggiore è la loro distanza dal sistema solare.

Questo moto di allontanamento delle galassie è detto moto di recessione e la legge di Hubble

esprime la relazione tra velocità di allontanamento e distanza della galassia dalla terra.

v = H d

dove H è la costante di Hubble e rappresenta la rapidità con cui l’universo si espande,

attualmente il suo valore è di 72Km/s/Mpc con un’incertezza del 5% circa. È infatti l’universo ad

aumentare le sue dimensioni, non tanto le galassie ad allontanarsi. Lo spazio-tempo

espandendosi trascina con sé le galassie nel suo movimento.

Gli scienziati propongono tre possibili modelli per il futuro dell’universo:

27 3

è stato stabilito un valore critico per la densità corrispondente a 10ˉ Kg/m ( valore minimo per

fermare l’espansione) ed omega (Ω) rappresenta il rapporto tra la densità media e la densità

critica; allora se:

Ω<1 la densità media è minore di quella critica, non c’è massa sufficiente a

fermare l’espansione e produrre un collasso: l’universo

continuerà ad espandersi, le galassie ad allontanarsi e

le stelle si spegneranno. Si ha quindi un universo

aperto che diventerà sempre più oscuro, vuoto e

freddo; la geometria che lo rappresenta è quella

iperbolica.

Ω=1 La densità media è uguale a quella critica, l’espansione verrà rallentata

senza però arrivare ad un collasso. Si ha quindi un

universo piatto ; la geometria che lo rappresenta è

quella euclidea.

Ω < 1 La densità media è maggiore della densità critica. L’espansione

rallenta, ma dato che la massa è superiore a quella

indispensabile per un semplice rallentamento ci sarà il

giorno in cui l’universo cesserà di espandersi e inizierà a

contrarsi fino a raggiungere il collasso chiamato big crunch.

Si ha quindi un universo chiuso; la geometria che lo

rappresenta è quella sferica.

Tuttavia fare delle stime sull’eventuale futuro dell’universo è molto difficile. Quando si prende in

considerazione la quantità di materia sarebbe necessario aggiungervi la materia oscura che ha

proprietà del tutto differenti e che non è possibile rilevare attraverso strumenti ottici.

Scienziati pensano che la materia oscura sia fatta o da buchi neri o da stelle di piccola massa e

poco luminose, altri credono sia costituita da particelle prive di carica con massa così piccola da

non poter essere rilevata con i mezzi attuali.

Ammasso di galassie MACSJ0025, nella costellazione della Balena:

le nuvole blu rappresentano la materia oscura, quelle rosa la

materia ordinaria. L’ammasso si è originato per la collisione di due

grossi ammassi di galassie e questa formazione spiega la particolare

posizione dei due tipi di materia: la materia ordinaria, sotto forma

di gas caldi, si è concentrata al centro, mentre la materia oscura,

più rarefatta, è passata oltre.

Alla luce di tutto questo vediamo come il futuro dell’universo sia una questione di geometrie:

collasserà se la sua forma è della geometria sferica, continuerà ad espandersi se è della

geometria iperbolica o sarà rallentata l’espansione se è della geometria euclidea.

IL BISOGNO DI NUOVE ANGOLAZIONI IN LETTERATURA

La geometria (euclidea) fin da sempre deteneva una posizione privilegiata rispetto alle altre

scienze, kantianamente era ritenuta una scienza “sintetica a priori” in grado di imporre le sue

leggi al mondo oggettivo; veniva utilizzata quindi, come modello di interpretazione della realtà.

La formulazione di geometrie non euclidee portò inevitabilmente ad una crisi dei fondamenti

fisico-matematici che si ripercosse nella vita dell’uomo come perdita delle certezze e come

visione, non più unitaria, ma frammentaria del mondo.

Quanto appena detto è verificabile nella visione del mondo pirandelliana.

Luigi Pirandello è un autore del ‘900; nasce a Girgenti ( Agrigento ) il 28

giugno 1867 da una famiglia di agiata condizione borghese che

purtroppo, conoscerà presto il dissesto economico per un investimento

sfortunato; Pirandello subì pertanto l’esperienza della declassazione, del

passaggio da una vita di agio borghese ad una condizione piccolo

borghese. In molte novelle rappresenta il grigiore di questa nuova vita

che lui stesso è costretto a condurre e salta alla luce il suo atteggiamento

di rifiuto verso la società e il suo meccanismo percepito come “trappola”.

Di particolare rilievo sono le opere teatrali di Pirandello, quelle grazie alle

quali dal 1920 ottenne un successo mondiale.

La visione del mondo pirandelliana si basa su una concezione vitalistica ispirata soprattutto alla

filosofia di Henri Bergson, teorico dello “slancio vitale”. La realtà è vita: un “flusso” continuo,

tutto ciò che si stacca dal flusso si rapprende assumendo una “forma”, comincia, per Pirandello,

a morire. L’uomo prova il bisogno di darsi una forma anche se da una parte sente il richiamo alla

vita. La forma che l’uomo tende a darsi è secondo Pirandello un’illusione, aumentata dal fatto

che ogni uomo dà all’altro una forma e quindi noi che credevamo essere “uno” per noi stessi e

per gli altri, ci scopriamo “centomila”. Così la forma diventa per l’uomo una “maschera” che è

costretto ad indossare, e sotto questa non c’è “nessuno” o meglio un fluire incoerente di stati in

continua trasformazione; così Pirandello è convinto che nell’uomo convivono più persone.

Conduce quindi una critica serrata al concetto di identità personale, di “io”.