Numeri primi da 1 a 100: regole

In questo appunto di matematica si definiscono i numeri primi ed alcune loro caratteristiche e vedremo come determinare tutti i numeri primi compresi fra zero e cento.

I numeri primi

Al fine di definire i numeri primi si consideri l’insieme

dei multipli di 3:

Consideriamo un elemento maggiore di 3 di tale insieme, ad esempio 15, si può notare che:

• 15 è multiplo di 3 secondo 5;
• 15 è multiplo di 5 secondo 3.

Per cui possiamo asserire che 3 e 5 sono divisori di 15. Sono inoltre divisori di 15 il numero 1 ed il numero 15 stesso. Quindi possiamo scrivere l’insieme dei [url=https://www.skuola.net/matematica/aritmetica/ancora-sui-criteri-di-divisibilita.html#:~:text=Per%20determinare%20se%20un%20numero,non%20%C3%A8%20divisibile%20per%202.]divisori[/url] di 15 come:

Se ripetiamo lo stesso ragionamento per altri multipli di 3 (o di altri numeri naturali) giungiamo a risultati del tutto analoghi, quindi si può concludere che l’insieme dei divisori di un numero naturale è un insieme finito.
Adesso si consideri

Si può vedere che l’insieme dei suoi divisori è:

Il quale è costituito da due soli elementi, ossia si tratta di un insieme paio.
Nell’insieme dei numeri naturali esistono molti elementi che godono di questa proprietà, ossia tali che l’insieme dei loro divisori è costituito da due soli elementi, a tali elementi viene dato il nome di numeri primi. Si definiscono numeri primi, tutti quei numeri naturali che hanno soltanto due divisori interi, ossia il suo insieme dei divisori è un paio.
Analogamente diremo che un numero è primo se ha per divisori solamente se stesso e l’unità.

Proprietà dei numeri primi

Si noti che il numero 1 non lo si può definire primo, poiché l’insieme dei suoi divisori è costituito da un solo elemento:

ossia è un singolo.
Un numero primo, ad eccezione del numero 2, non sarà mai un numero pari.
L’insieme dei numeri primi, che indicheremo con

, è evidentemente un sottoinsieme di

ed i suoi elementi (escluso il 2) appartengono tutti all’insieme dei numeri dispari

Il crivello di Eratostene

Generare numeri primi è stato e continua ad essere un tema molto particolare.
Uno dei primi metodi conosciuti per raggiungere tale scopo si attribuisce ad Eratostene di Cirene (273- 194 a.C.), matematico, astronomo e geografo greco che fu direttore della biblioteca di Alessandria. Questo metodo è conosciuto come crivello di Eratostene e permette di ricercare i numeri primi minori di un numero naturale assegnato.
Tale metodo consiste nello scrivere tutti i numeri naturale maggiori di 1 e minori del numero fissato e nel cancellare, successivamente:

• i multipli di 2, escluso il 2;
• i multipli di 3 escluso il 3
;

• i multipli di 5, escluso il 5;
• i multipli di 7, escluso il 7;
• e così via considerando, in ordine, la successione dei numeri primi.

Procedendo in questo modo, risultano selezionati, dall’insieme

dei numeri naturali, tutti i numeri che non sono primi. La parola crivello significa infatti setaccio.
In generale, per trovare tutti i numeri primi minori di un numero N assegnato, è sufficiente realizzare un crivello per i numeri primi minori o uguali a

Questo ci fornisce un metodo per trovare i numeri primi minori di un numero dato. Questo metodo si continua ad usare ancora oggi per trovare numeri primi piccoli, minori di diecimilamilioni.
In generale non è facile stabilire se un numero è primo, in quanto i matematici non sono riusciti ancora ad elaborare un metodo generale veloce per riconoscerli: il metodo precedentemente esposto per numeri molto grandi diventa molto laborioso e complesso.

Metodo del crivello di Eratostene per i primi 100 numeri naturali.

Si considerino i primi 100 numeri naturali:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30,
31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40,
41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50,
51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60,
61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70,
71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80,
81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90,
91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.
Se si eliminano i multipli di 2, escluso il 2 otterremo:
2, 3, 5, 7, 9,
11, 13, 15, 17, 19,
21, 23, 25, 27, 29,
31, 33, 35, 37, 39,
41, 43, 45, 47, 49,
51, 53, 55, 57, 59,
61, 63, 65, 67,69,
71, 73, 75, 77, 79,
81, 83, 85, 87, 89,
91, 93, 95, 97, 99.
Se eliminiamo i multipli di 3 escluso il 3 otterremo:
2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19,
23, 25, 29,
31, 35, 37,
41, 43, 47, 49,
53, 55, 59,
61, 65, 67,
71, 73, 77, 79,
83, 85, 89,
91, 95, 97.
Se si eliminano i multipli di 5, escluso il 5 otteniamo:
2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19,
23, 29,
31, 37,
41, 43, 47, 49,
53, 59,
61, 67,
71, 73, 77, 79,
83, 89,
91, 97.
Se si eliminano i multipli di 7, escluso il 7 otteniamo:
2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19,
23, 29,
31, 37,
41, 43, 47,
53, 59,
61, 67,
71, 73, 79,
83, 89,
97.
Se procediamo cercando di eleminare i multipli di 11, escluso l’11, quelli di 13, escluso il 13, quelli di 17, escluso il 17 e via dicendo si vede che non viene eliminato nessun altro numero, per cui possiamo asserire che quelli trovati, sono i numeri primi nell’insieme dei numeri naturali compresi fra 0 e 100.
Si osservi che il crivello cessa quando si arriva al numero 10, che è la radice quadrata di 100.

Significato dei numeri primi

Ci si riferisce spesso ai numeri primi come ai mattoni della matematica, gli atomi dell’aritmetica o il codice genetico dei numeri. Ogni numero infatti può essere scomposto in fattori primi e la sua scomposizione è unica. Il teorema fondamentale dell’aritmetica infatti afferma che: ogni numero naturale può essere scomposto in un unico modo come prodotto di fattori primi:

dove
a, b, c (ed eventualmente altri) sono numeri primi.
In base a quanto esposto i numeri primi sono gli elementi con i quali si costruiscono tutti gli altri numeri. Infatti la parola primo deriva dal latino primus ed allude al concetto di primitivo, poiché tutti i numeri si possono ottenere a partire da essi.
Se volessimo riflettere sulla natura dei numeri primi per cercare una relazione fra di essi o una regola che ci permetta di prevedere in che momento un numero prima seguirà ad un altro, è necessario averne a disposizione una lunga serie. Ad un primo esame possiamo constatare che i numeri primi sono assolutamente imprevedibili:
ci sono ad esempio più numero primi fra 1 e 100 che fra 101 e 200; oppure fra 1 e 1000 ci sono 168 numeri primi.
Si potrebbe pensare che se avessimo a disposizione una tavola di numeri primi molto più grande, la loro quantità aumenterebbe in proporzione, ma questo non accade: dalle tavole di numeri primi attualmente disponibili si sa, ad esempio, che fra mille unità che vanno da

e

ci sono solo due numeri primi (e stiamo parlando di numeri con più di cento cifre).
L’insieme dei numeri primi è un insieme infinito e per tali insiemi trovare una regola che ci aiuti a determinarne ciascun elemento non è facile. Il fatto che i numeri primi sono infiniti è stato dimostrato da Euclide attraverso un metodo molto semplice, spiegato di seguito.
Si considerino tre numeri primi consecutivi: 2, 3, 5.
Il loro prodotto è dato da :

A tale prodotto si sommi 1:

Il risultato ottenuto, se diviso per uno qualsiasi dei numeri primi considerati inizialmente, restituisce come resto 1:

Questo ci dice che il numero 31 non è divisibile per nessuno di essi.
Questa caratteristica si verifica sempre:
partendo da una lista di numeri primi consecutivi, moltiplicandoli fra loro ed aggiungendo una unità al risultato, si ottiene un numero che non è divisibile per nessun numero della lista. Quindi il numero ottenuto è un numero primo che non si trova nella lista di partenza, per cui questa lista non era completa.
Potremmo ripetere questo procedimento all’infinito e trovare infiniti numeri primi.
Si può dunque concludere che per quanto sia lunga la lista di numeri primi considerata, se si effettua l’operazione di moltiplicarli tutti fra loro ed aggiungere l’unità, si ottiene un nuovo numero che si trova in una delle seguenti situazioni:

• è un numero primo che non era nella lista;
• è un numero composto nella cui riduzione in fattori devono esserci numeri primi non appartenenti alla lista.

In tale modo la lista risulta essere sempre incompleta a meno che non sia infinita, ma questo non risulta essere un metodo per ottenere numeri primi.

per ulteriori approfondimenti sui numeri primi vedi anche qua