Calcolo percentuale – Formule ed esercizi

Habilis

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In questo appunto vengono descritte le proporzioni e le le formule utili per lo svolgimento dei problemi; viene inoltre spiegato il procedimento per il calcolo delle proporzioni attraverso l’utilizzo della calcolatrice.

Indice

Dalla percentuale alla frazione - formula diretta
1. Dalla frazione alla percentuale - formula inversa
Le proporzioni nel calcolo percentuale
Formula sulla percentuale di sconto
Calcolare la percentuale diretta e inversa con la calcolatrice scientifica Casio FX-991EX

Dalla percentuale alla frazione - formula diretta

La percentuale è un modo particolare per indicare una frazione nel quale il denominatore equivale a 100.
La percentuale rappresenta una modalità compatta per esprimere una frazione, la percentuale indica una parte dell’intero considerato (ad esempio può indicare la metà, un quarto o un centesimo dell’intero), la percentuale va quindi applicata ad un intero o più generalmente ad un oggetto.

La percentuale viene indicata con un numero seguito dal simbolo %.

Molto semplicemente: "x% di qualcosa" indica "x/100 di qualcosa".

Riportiamo un esempio nel quale viene richiesto di calcolare la percentuale di un intero caratterizzato da un certo numero di componenti.
Per esempio, se il

[math]35\%[/math]

dei

[math]20[/math]

studenti componenti una classe è di sesso maschile, significa che su 20 studenti solo

[math]\frac{35}{100}\cdot 20 = 7[/math]

sono maschi e conseguentemente

[math]20 - 7 = 13[/math]

sono femmine.
Per ulteriori approfondimenti sulle frazioni vedi anche qua

Dalla frazione alla percentuale - formula inversa

Sappiamo che la percentuale rappresenta una frazione e indichiamo tale frazione in modo generico con: m/n.
La percentuale è la frazione che individua quella parte dell’intero moltiplicata per 100.
Si può ricavare semplicemente: "m/n di qualcosa" indica "m/n * 100% di qualcosa".
Riportiamo un esempio nel quale viene richiesto di calcolare la percentuale relativa ad un certa frazione.
Per esempio, se

[math]1/4[/math]

degli studenti componenti una classe è si sesso maschile, significa che solo

[math]\frac{1}{4}\cdot 100\% = 25\%[/math]

sono maschi e conseguentemente

[math]100\% - 25\% = 75\%[/math]

sono femmine.

Le proporzioni nel calcolo percentuale

Per il calcolo delle percentuali è utile ricorrere alle proporzioni: una proporzione è l’uguaglianza di due frazioni.
Dato che abbiamo detto che la percentuale corrisponde ad una frazione in cui il denominatore è pari a 100, è possibile scrivere la seguente proporzione:
x(%) : 100 = parte : totale
Note 3 grandezze è possibile applicare le proprietà delle proporzioni per trovare la quarta grandezza.
Riportiamo un esempio nel quale è richiesto il calcolo della percentuale attraverso l’utilizzo delle proporzioni.

Se in una classe 4 studenti su 25 praticano sport, per calcolare la

[math]x\%[/math]

degli studenti che praticano sport è sufficiente impostare la seguente proporzione:

[math]4 : 25 = x\% : 100\%[/math]

, da cui

[math]x = \frac{4\cdot 100\%}{25} = 16\%[/math]

degli studenti.

Conseguentemente, il rimanente

[math]100\% - 16\% = 84\%[/math]

degli studenti non pratica sport.
Per ulteriori approfondimenti sulle proporzioni vedi anche qua

Formula sulla percentuale di sconto

La proporzione risolutiva dei problemi su percentuali e sconti è

[math]\text{tasso percentuale} : 100 = \text{valore della percentuale} : \text{totale}[/math]

ossia, più brevemente:

[math]t : 100 = p : T[/math]

Da tale proporzione è possibile ricavare la formula diretta per il calcolo del tasso percentuale:

[math]t = \frac{p \cdot 100}{T}[/math]

la formula inversa per il calcolo del valore della percentuale:

[math]p = \frac{t \cdot T}{100}[/math]

ed infine la formula inversa per il calcolo del totale:

[math]T = \frac{p\cdot 100}{t}[/math]

Naturalmente le strade sono due: o si imparano a memoria tutte e tre le formulette (diretta e inverse) oppure basta ricordare la proporzione generatrice e risolverla di volta in volta (che è indubbiamente la via migliore).

Ricordiamo che nel caso di sconti, se si conosce la percentuale di sconto è possibile calcolare il valore dello sconto, noto quest’ultimo è necessario sottrarlo al prezzo iniziale per ottenere così il prezzo finale con cui si paga l’oggetto.

Se si vuole calcolare il prezzo finale di un oggetto già scontato, lo sconto totale non equivale alla somma delle percentuali di sconto.
Si vuole calcolare la percentuale x% di un certo valore iniziale e a questo risultato si applica un ulteriore sconto del y%.
Il prezzo finale è dato da:
Prezzo dopo il primo sconto = prezzo iniziale – (x% prezzo totale)
Prezzo dopo il secondo sconto = prezzo dopo il primo sconto – (y% prezzo dopo il secondo sconto)
Se si calcolano le formule per valori di prezzo iniziale e di sconto ben precisi si può facilmente notare che lo sconto complessivo non corrisponde alla somma dei singoli sconti.

Calcolare la percentuale diretta e inversa con la calcolatrice scientifica Casio FX-991EX

Il procedimento riportato in seguito è relativo al modello di calcolatrice considerato, tuttavia è possibile seguire un procedimento simile anche per gli altri modelli di calcolatrice, attuando le opportune modifiche dovute alla presenza di tasti con sigle differenti.

Indichiamo con:

[math]N[/math]

= numero di cui si vuole calcolare la percentuale (ad esempio 1234)

[math]r[/math]

= 15%.

[math]P[/math]

= parte percentuale.

La formula diretta per eseguire il calcolo della percentuale è:

[math]P=(N x r)/ 100[/math]

Le formule inverse per il calcolo degli altri parametri sono:

[math]N = (P x 100)/ r[/math]

[math]r = (P x 100)/ N[/math]