Principi e nozioni base di matematica

Triangolo di Tartaglia

Nel triangolo di Tartaglia ogni numero è somma dei due numeri superiori e viene usato per

calcolare la potenza del binomio. Alla riga n+1 si ha la potenza n, ad es. alla riga 5 si ha il binomio

di potenza 4.

4 4 3 2 2 3 4

(a+b) = a + 4 a b + 6 a b + 4 a b + b

Coefficienti Binomiali

combinazioni di n elementi a gruppi di k



 n n

!





C = =





n+1,k+1 ⋅ −

k 

 k ! (( n k )!

Es. combinazioni di n elementi a gruppi di k, ad es. il numero di combinazioni su 4 elementi a

gruppi di 2 è 6 e lo si vede facilmente dalla formula:

 

 

n 4 4

! 24

n

!

 

  = = 6

dove n è uguale a 4 e 4 è uguale a 2

= =

 

  ⋅ ⋅

⋅ −

k 2

 

  2

! (( 2 )! 2 2

k ! (( n k )!

Con la formula delle Combinazioni n elementi a gruppi di k è possibile calcolare anche le

probabilità di fare 6 al super enalotto



 n n

!



 = dove n è 90 e k è 6 (ovvero la sestina vincente):



 ⋅ −

k 

 k ! (( n k )! 1,4857E+138



 = 622.614.630

90 90

!



 = 720 3,3142E+126

=



 ⋅

6 

 6

! (

84 )!

circa 622 milioni di combinazioni, pertanto la probabilità di vincere : 1 diviso 622 milioni circa.

è chiamato , e vuol dire:

n! n fattoriale

= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

n n n n

! ( 1

) ( 2 ) ... 3 2 1

Il fattoriale di 0 è 1 (per convenzione), il fattoriale di 1 è 1. 9

= ⋅ −

Alta Proprietà del fattoriale è che n

! n ( n 1

)! dal momento che il fattoriale è una definizione

ricorsiva.

I numeri del triangolo di Tartaglia no detti anche Coefficienti Binomiali, particolarmente studiati

nell'ambito del calcolo combinatorio: si dimostra infatti che l'elemento di posizione k sulla riga n

del triangolo di Tartaglia è il numero di combinazioni di n-1 elementi di classe k-1:

Pertanto, la potenza del binomio può essere scritta anche con la formula seguente, che dobbiamo a

detta formula del Binomio di Newton:





n n

∑ −



 ⋅ ⋅

+ = k

n n k

( a b ) a b



 k 



=

k 0

Sistemi di Equazioni di Secondo Grado

Un sistema di Equazioni è un insieme di più equazioni che devono essere verificate

contemporaneamente, perciò le soluzioni dovranno essere l’intersezioni delle soluzioni delle

equazioni del sistema.

Un sistema di 2 equazioni può risolvere 2 incognite, uno di 3 equazioni può risolvere 3 incognite e

così via.

Dal punto di vista geometrico mediante la risoluzioni dei sistemi si trovano i punti di intersezioni

fra curve.

Ad esempio per trovare il punto di intersezione di 2 rette si mettono a sistema le 2 equazioni di

primo grado e si determinano le coordinate del punto di intersezione.

Altrimenti si possono trovare i punti di intersezioni di altre curve con una retta. Ad es: qui si ha

intersezione di retta con una circonferenza nel piano cartesiano.

 + =

2 2 1

x y

 ⋅ + ⋅ =

2 4 0

x y



A volte prima di iniziare la risoluzione del sistema è opportuno definire l’insieme di definizione. Ad

es. se ci stanno dei denominatori bisogna imporre che siano diversi da 0 (dal momento che un

numero diviso 0 dà un risultato infinitamente grande), oppure se vi è un radice di indice pari

bisogna accertarsi che il radicando sia maggiore o uguale a zero, o se si ha un log bisogna accertarsi

che l’argomento sia positivo 10

Metodi di Risoluzione

Fra i metodi di Risoluzione abbiamo:

Metodo di Sostituzione

Metodo del Confronto

Metodo di Riduzione

Regola di Cramer

Il è quello che si usa nella stragrande maggioranza dei casi e consiste

Metodo di sostituzione

nell’esplicitare un'incognita esprimendola in funzione delle altre, in una delle equazioni del sistema

e si sostituisce l'espressione così ottenuta nelle altre equazioni in luogo dell'incognita

corrispondente.

In questo modo l’incognita sparisce da tutte le equazioni eccetto la prima. Si applica iterativamente

il metodo fino a giungere ad una equazione con una sola incognita; si calcola il valore di

quest'ultima e si risale fino alla prima esplicitando via via i valori delle incognite calcolate. 11

Distanza fra due punti

La Distanza (euclidea) del punto A di coordinate (X ; Y ) dal B di coordinate (X ; Y ) è:

A A B B

( ) ( )

2 2

= − + −

d X X Y Y

,

A B B A B A

Se sia il punto A sia il si trovano su uno degli assi si può usare una formula semplificata.

Ad es. A e B sull’asse X, vuol dire che A ha coordinate (X ; 0) e B ha coordinate (X ; 0) è:

A B

= −

d X X

A , B B A

Ad es. A e B sull’asse Y, vuol dire che A ha coordinate (0; Y ) e B ha coordinate (0; Y ) è:

A B

= −

d Y Y

A , B B A

Equazione della Retta scritta in forma implicita

Una retta nel piano cartesiano è descritta in forma implicita dalla seguente equazione lineare:

a x + b y + c = 0

con a, b, c numeri reali e a, b non contemporaneamente nulli.

Per disegnare facilmente una retta in una piano (dal momento che per due punti passa una ed una

sola retta), basta trovare i due punti di intersezione con gli assi, ovvero basta risolvere i due sistemi

si equazioni sia con l’asse x (per trovare il punto di intersezione con l’asse x, y=0) sia con l’asse y

(per trovare il punto di intersezione con l’asse x)

⋅ + ⋅ + =

 a x b y c 0

 =

y 0



e per trovare il punto di intersezione con l’asse y (x=0), risolvere il seguente sistema

⋅ + ⋅ + =

 a x b y c 0

 =

x 0



Trovati i due punti che rappresentano le intersezioni con gli assi cartesiani possiamo disegnare la

retta, che passa da questi due punti.

Equazione della Retta scritta in forma esplicita

Una retta nel piano cartesiano è descritta in forma esplicita dalla seguente equazione lineare:

y = m x + q

dove m rappresenta il coefficiente angolare che tiene conto della pendenza della retta rispetto

all’asse x (ovvero l’angolo rispetto all’asse x);

e q rappresenta l’intercetta sull’asse y, ovvero il punto di intersezione della retta sull’asse y. 12

Per disegnare facilmente una retta in una piano basta trovare i punti di intersezione con gli assi.

Nella retta i forma esplicita già abbiamo il punto di intersezione con l’asse y, che avrà coordinate

(0, q), dal momento che q è l’intercetta dell’asse y.

Per trovare il punto di intersezione con l’asse x basta risolvere il seguente sistema:

= ⋅ +

 y m x q

 =

y 0



Coefficiente Angolare di una retta passante per due punti

Dati due punti P (X0; Y0) e Q (X1; Y1), il coefficiente della retta passante per questi due punti è:

−

y y

= 1 0

m −

x x

1 0

Passaggio dalla retta scritta in forma implicita alla retta scritta

in forma esplicita

Un equazione scritta in forma implicita si può trasformare in forma esplicita con dei semplici

passaggi matematici.

⋅ + ⋅ + = 0

a x b y c

⋅ = − ⋅ −

b y a x c

c

a

= − ⋅ −

x

y b

b

ponendo

a

= −

m b

c

= −

q b

Si ha l’equazione della retta in forma esplicita:

y = m x + q

Distanza di un punto da una retta

Data la retta r in forma implicita:

a x + b y + c = 0

La distanza di un punto P di coordinate P (X0; Y0) dalla r, è data dalla formula:

⋅ + ⋅ +

a X b Y c

= 0 0

d P r

, +

2 2

a b

Data la retta r in forma esplicita: 13

y = m x + q

La distanza di un punto P di coordinate P (X0; Y0) dalla r, è data dalla formula:

− ⋅ −

Y m X q

= 0 0

d P r

, + 2

1 m

Distanza di un punto da un piano

Nello spazio, la distanza di un punto da un piano si misura lungo la retta passante per il punto che

interseca perpendicolarmente il piano. In un sistema di coordinate tridimensionali ortogonali, date le

coordinare del punto P = (X , Y , Z )

0 0 0 0

L'equazione del piano p: ax + by + cz + d = 0

dal piano p è data dalla formula:

La distanza del Punto P 0

⋅ + ⋅ + ⋅ +

a X b Y c Z d

= 0 0 0

d P p

, + +

0 2 2 2

a b c

Fascio di Rette proprio

Un fascio di rette di dice proprio se tutte le rette che lo compongono passano per un punto detto

centro o sostegno del fascio. Questo punto può essere individuato come l’intersezione di due rette

qualsiasi del fascio.

Un fascio di rette proprio viene descritto in maniera simile ad una retta in forma esplicita, con la

che dipendono (o meglio sono paremtrizzate) da un parametro k che

differenza che sia m q

corrisponde ad una retta del fascio.

Le rette del fascio perciò si descrivono come:

y = m (k) x + q (k)

Tutte le rette del fascio proprio, ad eccezione della retta verticale di equazione x=x possono essere

0

parametrizzate da facendo dipendere m e q dal parametro k

; Y ), l’equazione del fascio può essere scritta:

Se il Centro del fascio ha coordinate C (X

0 0

− = ⋅ −

y Y m ( k ) ( x X )

0 0

Dove il coefficiente angolare varia al variare del parametro k.

Es. di fascio proprio con centro nell’origine 14

Fascio di Rette improprio

Un fascio di rette si dice se le sue rette sono tutte parallele tra loro. Come per il caso del

improprio

fascio proprio, tutte le rette di un fascio improprio possono essere parametrizzate per un parametro

k.

Stavolta però il coefficiente angolare delle rette del fascio è costante, ovvero m non cambia (infatti

non è parametrizzato da k).

Il fascio di rette può essere parametrizzato come

y = m x + q (k)

Condizione di Parallelismo

Due rette si dicono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare.

Es.

Date le due rette

r : y = m x + q

1 1 1

r y = m x + q

2 2 2

le rette r ed r sono parallele se m = m

1 2 1 2

Condizione di Perpendicolarità

Due rette si dicono perpendicolari se il coefficiente angolare di una retta è l’inverso del reciproco

dell’altra.

Es.

Date le due rette

r1: y = m x + q

1 1

r2 y = m x + q

2 2 15

1

= −

m

Le rette r ed r sono perpendicolari se:

1 2 1 m 2

Criteri di Similitudine

Primo Criterio di Similitudine fra Triangoli

Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti (uguali), perciò anche il

terzo angolo sarà uguale

Secondo Criterio di Similitudine fra Triangoli

Due triangoli sono simili se hanno due lati ordinatamente proporzionali e gli angoli compresi

congruenti (uguali)

Terzo Criterio di Similitudine fra Triangoli

Due triangoli sono simili se hanno i tre lati ordinatamente proporzionali

Teorema di Talete

Un fascio di rette parallele determina sopra due trasversali due classi di segmenti direttamente

proporzionali

I pratica prese tre rette parallele a, b, c che tagliano due rette trasversali e nei punti A B C A’ B’

C’ allora si ha che il rapporto tra i segmenti omologhi dell’una e dell’altra retta è sempre costante.

Inoltre se presi AC e A'C', segmenti omologhi, si ha tra loro lo stesso rapporto di AB con A’B’ e di

BC con B'C', ovvero

Queste relazioni permettono di trovare la lunghezza di uno qualsiasi dei segmenti della quaterna, a

patto di averne almeno uno della stessa retta trasversale e due dell'altra, o la loro somma. 16

Ovviamente queste relazioni valgono presa qualsiasi coppia di segmenti omologhi.

Disequazioni di Secondo Grado

Una disequazione di secondo grado è un’espressione del tipo:

2

a x + b x + c > 0

Al posto del segno di maggiore ci può essere maggiore uguale, ed in quest’ultimo caso vuol dire che

sono comprese anche le soluzioni dell’equazione associata.

Oppure può essere del tipo:

2

a x + b x + c < 0

Al posto del segno di minore ci può essere minore uguale, ed in quest’ultimo caso vuol dire che

sono comprese anche le soluzioni dell’equazione associata

Per lo svolgimento si procede determinando le soluzioni dell’equazione associata di secondo grado,

pertando si calcola il delta e poi si determinano x ed x .

1 2

∆ = 2

b – 4 (a c)

− ± ∆

b

=

x

1

, 2 ⋅

2 a

A seconda del:

• Segno di a

• Del verso della disequazione

• Del segno del delta

Si usano i seguenti schemi risolutivi. 17

Se a è negativo le situazioni si invertono… ad ogni caso si può rendere positivo moltiplicando ambo

i membri per -1 e cambiando il verso della disequazione.

Nota: quando si moltiplicano ambo i membri per un numero negativo (es. -1), bisogna

.

cambiare il verso della disequazione

Sistemi di Disequazioni di Secondo Grado

Un sistema di Disequazioni è un insieme di più disequazioni che devono essere verificate

contemporaneamente, perciò le soluzioni dovranno essere l’intersezioni delle soluzioni delle

equazioni del sistema.

Può anche avvenire che le soluzioni delle varia disequazioni del sistema siano insiemi disgiunti e

perciò il sistema non avrà soluzioni, o meglio l’insieme soluzione è l’insieme vuoto.