Si calcoli
[math]int ln(x^2-2x +2) dx[/math]
Procediamo per parti. L'integrale iniziale risulta essere quindi uguale a[math]int ln(x^2-2x +2) dx=xln(x^2-2x+2)-int(x \cdot (2x-2))/(x^2-2x+2)dx[/math]
Proseguiamo svolgendo la moltiplicazione[math]xln(x^2-2x+2)-int(2x^2-2x)/(x^2-2x+2)dx=xln(x^2-2x+2)-int(2+(2x-2)/(x^2-2x+2)-2/(x^2-2x+2))dx[/math]
Nell'ultimo passaggio si è riscritto il numeratore [math]2x^2-2x[/math]
in una forma più conveniente, ovvero[math](2x^2-4x+4)+(2x-2)-2[/math]
dopodichè abbiamo "spezzato" la frazione. Ripartendo da dove si era rimasti, abbiamo[math]xln(x^2-2x+2)-int2 dx-int(2x-2)/(x^2-2x+2)dx+int2/((x-1)^2+1)dx[/math]
Nel terzo integrale abbiamo agito così: [math]x^2+2x+2=(x^2+2x+1)+1=(x+1)^2+1[/math]
Inoltre l'argomento del modulo è sempre positivo, da cui l'inutilità del valore assoluto. Ma questi tre integrali sono piuttosto immediati, infatti abbiamo[math]xln(x^2-2x+2)-2x-ln(x^2-2x+2)+2arc\\tan(x-1)[/math]
Ricordiamo infatti (per il secondo integrale) che [math]2x-2[/math]
è la derivata prima di [math]x^2-2x+2[/math]
Raccogliendo [math]ln(x^2-2x+2)[/math]
si ha[math](x-1)ln(x^2-2x+2)-2x+2arc\\tan(x-1)+K[/math]
FINE
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