A cosa servono gli integrali e la formula fondamentale

In quest'appunto è possibile trovare un approfondimento sull'impiego e l'utilità degli integrali, con un approfondimento sulla formula fondamentale del calcolo integrale.

Integrali e derivate: a cosa servono questi operatori

Gli integrali e le derivate sono degli operatori molto utili in matematica, in quanto consentono di calcolare grandezze particolari associate a una funzione.

In particolare:

• la derivata permette di calcolare come cambia il valore di una funzione in relazione al suo argomento. In termini pratici, essa fornisce il valore del coefficiente angolare - e quindi della pendenza - della retta tangente a una funzione in un determinato punto
  [math]x_p[/math]
  Dal punto di vista matematico, la derivata è definibile come il limite del rapporto incrementale. Al numeratore del rapporto incrementale si può trovare la differenza tra i valori della funzione prima e dopo l'incremento, mentre al denominatore vi è l'incremento stesso. Considerando
  [math]x_p[/math]
  il punto considerato e
  [math]q[/math]
  l'incremento possiamo dire che
  [math]lim q → 0 \frac{f(x_p + q) - f(x_p)}{q}[/math]
• l'integrale definito - ossia svolto in un intervallo ben noto - consente di quantificare l'estensione dell'area compresa tra la curva e gli assi in un determinato intervallo di valori. Il suo calcolo verrà approfondito nei paragrafi successivi attraverso l'introduzione della formula fondamentale del calcolo integrale. In generale, si può affermare che la derivata e l'integrale siano operatori opposti, cioè si "annullano" a vicenda, come l'addizione e la sottrazione.

Il significato fisico dell'integrale e della derivata

L'integrale e la derivata non sono utilizzati soltanto in analisi matematica, ma anche in fisica. Il loro utilizzo permette infatti di giungere a determinate formule ed equazioni fondamentali per il corretto svolgimento dei calcoli.
Il loro ruolo è particolarmente importante in cinematica, ossia nella branca della fisica che si occupa dello studio del moto. In tale disciplina, infatti, vi sono tre principali grandezze da considerare:

• la posizione, la quale consente di quantificare lo spostamento di un corpo o di un punto materiale in funzione dello spazio e del tempo
• la velocità che aiuta ad esprimere quanto rapidamente il cambiamento di posizione è avvenuto
• l'accelerazione la quale permette di quantificare eventuali cambiamenti di velocità nel tempo

A seconda delle caratteristiche di queste tre grandezze è possibile avere diversi moti. Moti aventi sempre la stessa velocità(e quindi senza accelerazione) prendono il nome di uniformi. Moti aventi traiettorie particolari (circolari, rettilinee etc.) presentano nel nome tale caratteristica.

Il cambiamento della posizione nel tempo prende il nome di legge oraria ed è l'equazione fondamentale di ogni moto. Derivando la legge oraria nel tempo è possibile ricavare la relazione tra la velocità e il tempo e derivando ancora si può ottenere quella dell'accelerazione. Integrando quest'ultima nel tempo è possibile effettuare il percorso inverso, ossia ricavare dalla legge oraria dell'accelerazione quella della velocità e così via.

La derivata non è utile soltanto in termini fisici: il suo ruolo è fondamentale anche in ambito statistico. Come già anticipatamente affermato, essa è lo strumento matematico da utilizzare nel momento in cui si desidera studiare come cambia una variabile (o una grandezza) rispetto a un'altra variabile (o a un'altra grandezza). Se la prima aumenta all'aumentare del valore della seconda, allora la funzione si definisce crescente rispetto alla variabile. In caso di andamento inverso, si considera decrescente.

Questo è il motivo principale per cui - all'interno dello studio di funzione - tale operatore viene utilizzato per la ricerca dei punti di massimo e dei punti di minimo. I primi rappresentano gli "apici" della funzione, cioè dei punti prima dei quali la funzione è crescente per poi diventare decrescente. Nell'intorno dei punti di minimo, invece, la funzione ha un andamento opposto.

Anche l'integrale può avere un'utilità in campo statistico: esso infatti può essere impiegato per rappresentare la distribuzione di una variabile, purché essa sia uniforme. L'utilizzo dell'integrale definito, ad esempio, può aiutare a calcolare il valore finale di una variabile avente un tasso di crescita costante.

Cosa afferma la formula fondamentale del calcolo integrale

Sia

una funzione reale continua in un intervallo

e limitato, e la funzione

una primitiva di

nell’intervallo

, tale che (per definizione di primitiva)

.
Allora, l’integrale definito della funzione

nell’intervallo

è dato dalla differenza della funzione

valutata negli estremi

e

, cioè:

Dimostrazione della formula fondamentale del calcolo integrale

Si riprende la funzione integrale

, così definita:

Le funzioni

e

sono entrambe primitive della funzione

in base alla loro definizione, pertanto deve esistere una costante

tale che:

Ponendo

nella formula ottenuta risulta che:

Dunque

e, riprendendo la precedente scrittura relativa a

, si ottiene:

Infine, ponendo

segue che:

Per ulteriori approfondimenti sul teorema fondamentale del calcolo integrale vedi anche qui