Cinematica

Moti in una dimensione:

La cinematica descrive il moto di un corpo senza occuparsi delle sue interazioni con l’ambiente esterno, ovvero le cause del moto stesso. Qualsiasi corpo viene considerato come un punto materiale.
Il moto di un punto materiale è determinato quando è nota, istante per istante, la “posizione” nello spazio occupata dal punto.
Per stabilire la posizione è necessario sapere dove il corpo si trova rispetto ad un sistema di riferimento, per esempio l’origine di un sistema cartesiano.
Lo “spostamento” è definito come la variazione della posizione del corpo in un determinato intervallo di tempo. Lo spostamento è dato da: Δx = xf – xi.

Esso è un esempio di grandezza vettoriale.
La distanza (d) è la lunghezza del cammino percorso dalla particella (o corpo).
La velocità media di un punto materiale (vm) è definita come il rapporto tra lo spostamento “Δx” e l’intervallo di tempo “Δt” durante il quale lo spostamento è avvenuto: vm = Δx/Δt.
Essa può essere scritta anche come: vm = d/Δt.

Velocità istantanea:
Essa è la velocità di un corpo ad un determinato istante. La velocità istantanea “vx” è uguale al limite del rapporto “Δx/Δt” con “Δt” tendente a zero: vx = limΔt→0 (Δx/Δt).
Nel campo del calcolo differenziale è uguale alla derivata di x rispetto a t: vx = limΔt→0 (Δx/Δt) = dx/dt.

La velocità istantanea scalare è definita come il modulo (valore assoluto) della velocità istantanea in quell’istante.

Moto rettilineo uniforme:
Un punto materiale si muove di “moto rettilineo uniforme” quando presenta velocità costante. Siccome la velocità è costante, si ha: vx = vm. Risolvendo l’equazione differenziale “v = ds/dt” si ottiene la legge oraria: xf = xi + vt.
Dove “vt” -in un diagramma stempo/spazio- è rappresentabile come una retta passante per l’origine con coefficiente angolare “v”.

Accelerazione:
L’accelerazione media è definita come il rapporto tra la variazione di velocità “Δv” e l’intervallo di tempo “Δt” in cui è avvenuta: am = Δv/Δt = (vf – vi)/(tf – ti).

Accelerazione istantanea:
Essa rappresenta la derivata della velocità rispetto al tempo: ax = limΔt→0 (Δv/Δt) = dv/dt.
Quando velocità ed accelerazione sono concordi, il corpo tende a muoversi più rapidamente; al contrario, quando esse sono discordi, il corpo rallenterà.

Moto uniformemente accelerato:
Accelerazione = costante.

Leggi orarie del moto uniformemente accelerato:
1) vf = vi + a(tf – ti);
2) xf = xi + ½(vf + vi)t;
3) xf = xi + vit + ½at2;
4) vf2 = vi2 + 2a(xf – xi).

Corpi in caduta libera:
Un grave che cade è un qualsiasi oggetto che si muove liberamente sotto l’azione della sola gravità, indipendentemente dal suo moto iniziale.
Una volta che sono stati lasciati liberi, oggetti lanciati verso l’alto o verso il basso o abbandonati in quiete sono tutti in caduta libera. Qualsiasi grave in caduta libera ha un’accelerazione diretta verso il basso, indipendentemente dal moto iniziale dell’oggetto. Quest’ultima è detta “accelerazione gravitazionale” ed è uguale a: g = 9.8 m/s2.

Moti in due dimensioni:

1) Moto del proiettile o “parabolico”:
Esso si compone di due moti:
a) un moto rettilineo uniforme orizzontale;
b) un moto uniformemente decelerato verticale (caduta libera).

Il corpo descrive una traiettoria parabolica. Le componenti della velocità sono:
vx = v•cosθ;
vy = v•senθ.

Inoltre:
x = vxt = v•cosθ•t => t = x/(v•cosθ)
y = vyt - ½gt2 = v•senθ•t - ½gt2 => y = tgθ•x - ½g(x2/v2cos2θ)
.
Alla quota massima (h) si ha:

vy = 0;
t = (v•senθ)/g;
h = ½(v2sen2θ)/g.

Gittata:
R = vx•2t = (v2sen2θ)/g.
È massima a θ = 45°.

2) Moto circolare uniforme:
Il corpo descrive una traiettoria circolare. Esso è caratterizzato da velocità costante in “modulo” e direzione tangente alla traiettoria. Poiché la traiettoria è circolare,risulterà:
v =(2πR)/T;
T = (2πR)/v.

Dove “T” rappresenta il “periodo”, ovvero il tempo necessario per compiere un giro completo.
In tale moto l’accelerazione viene definita “centripeta”, in quanto è diretta verso il centro della circonferenza.
Essa risulta uguale a: ac = v^2/R.
Accelerazione tangenziale e radiale:
Durante il moto lungo un percorso curvo, il vettore accelerazione totale “a” cambia da punto a punto. In ogni istante può essere scomposto in due componenti riferite alla circonferenza relativa a quell’istante: una componente radiale “aR” lungo il raggio della circonferenza ed una componente tangenziale “aT” perpendicolare al raggio. Il vettore accelerazione totale “a” può essere rappresentato come la somma vettoriale di queste sue componenti: a = aR + aT.

a) L’accelerazione tangenziale è dovuta alla variazione del modulo della velocità “v” del corpo, ed il suo valore è: aT = |dv/dt|;

b) L’accelerazione radiale nasce dalla variazione nel tempo della direzione del vettore velocità, e risulta: aR = -ac = -v^2/R.
Il modulo dell’accelerazione totale è: |a| = √(aR2 + aT2).

Variabili angolari:
arco = s = Rθ
Δθ = θf – θi

θ = s/R (se s = R => θ = 1 rad).
360° : 2π = α : x

Velocità angolare media: ωm = Δθ/Δt;
Velocità angolare istantanea: ω = limΔt→0 (Δθ/Δt) = dθ/dt;
Accelerazione angolare: α = dω/dt.

Leggi orarie angolari:
1) ωf = ωi + α(tf – ti);
2) θf = θi + ½(ωf + ωi)t;
3) θf = θi + ωit + ½αt2;
4) ωf2 = ωi2 + 2α(θf – θi).

Accelerazione tangenziale (angolare):
s = Rθ
ds/dt = R(dθ/dt)

v = Rω => dv/dt = R(dω/dt) => aT = Rα.

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