Sono date le curve di equazione
[math]y=\frac{x+1}{2x-1}[/math]
e [math]y=\frac{4x}{1-2x}[/math]
Indicare con
[math]P[/math]
e [math]Q[/math]
i punti in cui la retta [math]x=h[/math]
con [math]h > \frac{1}{2}[/math]
interseca rispettivamente le curve. Considerato il punto
[math]A(1;0)[/math]
e [math]O(0,0)[/math]
si traccino i triangoli [math]\stackrel{\Delta}{PAO}[/math]
e [math]\stackrel{\Delta}{QAO}[/math]
Calcolare il limite del rapporto delle due aree con [math]h \to +\infty[/math]
Iniziamo con il trovare le coordinate di tutti i punti.
Sia
[math]r : x=h[/math]
con [math]h \in \mathbb{R}[/math]
e [math]h > \frac{1}{2}[/math]
: con questa condizione si ha che l'intersezione con la curva di equazione [math]y=\frac{x+1}{2x-1}[/math]
è nel primo quadrante e l'intersezione con la curva di equazione [math]y=\frac{4x}{1-2x}[/math]
è nel quarto quadrante. Consideriamo anche l'intersezione della retta
[math]x=h[/math]
e l'asse delle ascisse: questa la chiameremo [math]K(h,0)[/math]
Sia
[math]P \equiv \left(h; \\ \frac{h+1}{2h-1}\right)[/math]
e [math]Q \equiv \left(h; \\ \frac{4h}{1-2h}\right)[/math]
. La retta
[math]r[/math]
è ortogonale all'asse delle ascisse, quindi il possiamo dire che il triangolo [math]\stackrel{\Delta}{PAO}[/math]
ha [math]OA[/math]
come base, e [math]\bar{PK}[/math]
l'altezza relativa. Sapendo che l'area è espressa come il semiprodotto della base per l'altezza, si ha che
[math]\mathcal{A}_{POA}=\bar{OA} \cdot \bar{PK} \cdot \frac{1}{2}=1 \cdot \frac{h+1}{2h-1} \cdot \frac{1}{2}=\frac{h+1}{2(2h-1)}[/math]
. Nel triangolo
[math]\stackrel{\Delta}{QOA}[/math]
preso [math]OA[/math]
come base, [math]QK[/math]
ne è l'altezza relativa: si ha che [math]\mathcal{A}_{QOA}=\bar{OA} \cdot \bar{QK} \cdot \frac{1}{2}=1 \cdot | \frac{4h}{1-2h} | \cdot \frac{1}{2} = \frac{4h}{2(2h-1)}[/math]
ove il modulo è giustificato da quanto prima detto a proposito della posizione dei punti intersezione. A questo punto il limite richiesto è il seguente:
[math]\lim_{h \to +oo}\frac{\mathcal{A}_{POA}}{\mathcal{A}_{QOA}}=\lim_{h \to +oo}\frac{h+1}{2(2h-1)}{\frac{4h}{2(2h-1)}}=\lim_{h \to +oo}\frac{h+1}{4h}=[\frac{+oo}{+oo}][/math]
La forma è indeterminata, ma trascurando l'uno al numeratore, si ottiene:
[math]\lim_{h \to +oo}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}[/math]
FINE
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