Considerate le curve
[math]y=x[/math]
[math]y=x^2[/math]
e
[math]y=x^3[/math]
Preso su ognuna di esse un punto di uguale ascissa a con
[math]0 e considerato il punto
[math]A(1;1)[/math]
determinare il limite per [math]a->1^{-}[/math]
del rapporto delle distanze del punto su [math]y=x^2[/math]
dai corrispondenti [math]y=x[/math]
e [math]y=x^3[/math]
Sia
[math]Pequiv (a;a)[/math]
il punto da scegliere preso sulla retta. Sia
[math]P'equiv (a;a^2)[/math]
il punto da scegliere preso sulla parabola e di uguale ascissa al primo. Sia
[math]P'' equiv (a;a^3)[/math]
il punto da scegliere sulla cubica di uguale ascissa ai primi due. Chiamiamo
[math]d_1[/math]
la distanza tra [math]P'[/math]
e [math]P[/math]
: si avrà
[math]d_1=|a^2 - a|=a-a^2[/math]
Abbiamo tolto il modulo e cambiato i segni per il fatto che per
[math]a in [0;1] subset mathbb{R}[/math]
si ha [math]a^2-a.
Ora chiamiamo
[math]d_2[/math]
la distanza tra [math]P'[/math]
e [math]P''[/math]
:
[math]d_2=|a^2-a^3|=a^2-a^3[/math]
ove il modo di togliere il modulo è dovuto al fatto che per [math]a in [0;1] subset mathbb{R}[/math]
si ha [math]a^2-a^3>0[/math]
. Abbiamo dunque trovato il modo di esprimere i segmenti in funzione del parametro
[math]a[/math]
. Si ha che il limite cercato è
[math]lim_{a o 1}( a-a^2 )/( a^2-a^3 )=lim_{a o 1}( 1-a )/( a-a^2 )=[0/0][/math]
che risolto con De L'Hopital dà :
[math]lim_{a o 1}( -1 )/( 1-2a )=(-1)/(-1)=1[/math]
O senza ricorrere a De L'Hopital, semplificando abbiamo
[math]lim_{a o 1}( 1-a )/( a-a^2 )=lim_(a o 1) (1-a)/(a(1-a))=lim_(a o 1) 1/(a)=1/1=1[/math]
FINE
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