Sistemi lineari: risoluzione

Di seguito vedremo un po' di spunti e di regole utili ai fini della risoluzione di un sistema lineare, inclusi dei criteri per stabilire a priori la compatibilità (ovvero l'esistenza di una soluzione) di un sistema.

La terminologia sui sistemi

Che cos'è un sistema di equazioni?: Si tratta di un insieme di due o più equazioni, che si vuole siano soddisfatte contemporaneamente. Si indica scrivendo le equazioni una al di sotto dell'altra e racchiudendole con una parentesi graffa posta alla loro sinistra.
Che cos'è il grado di un sistema intero?: Esso è il prodotto dei gradi delle singole equazioni che lo compongono.
Qual è la forma normale di un sistema lineare di due equazioni nelle due incognite x e y?: Si scrive nel modo seguente:

Da che cosa è costituita una soluzione di un sistema di due equazioni nelle due incognite

e ? Da una coppia ordinata di numeri reali che, sostituiti al posto di e di nelle due equazioni del sistema, rendono entrambe (e non una sola!) le equazioni vere.

Metodo di sostituzione

Consiste nel risolvere una delle due equazioni del sistema rispetto a un'incognita (scegliendo l'equazione e l'incognita in modo da essere condotti a calcoli più semplici possibili, ma non è obbligatorio. Si può scegliere ciò che si vuole). Sostituire l'espressione trovata nell'altra equazione: si ottiene così un'equazione in una sola incognita, detta equazione risolvente del sistema. Risolvere l'equazione risolvente, sostituire il valore dell'incognita trovata nell'equazione esplicitata inizialmente e ricavare il valore dell'incognita ancora da determinare. Scrivere la soluzione del sistema.

Metodo di riduzione (addizione e sottrazione)

I coefficienti di una delle due incognite nelle due equazioni sono uguali o opposti?
Se sono uguali: sommare o sottrarre le due equazioni, in modo da ottenere un'equazione risolvente in una sola incognita, risolvere l'equazione risolvente, sostituire il valore dell'incognita trovata in un'equazione del sistema, per trovare il valore dell'altra incognita. Scrivere la soluzione del sistema.
Se sono opposti: moltiplicare i due membri delle equazioni per fattori opportuni, in modo da ottenere due equazioni nelle quali i coefficienti di un'incognita siano uguali o opposti, poi svolgere il procedimento scritto sopra.
Tale metodo è più generale e nei corsi più avanzati di Algebra viene utilizzato per risolvere sistemi di dimensione più grande.

Metodo di Cramer

Attenzione: il fatto che un sistema sia indeterminato, cioè che abbia infinite soluzioni, non significa che è soddisfatto da ogni coppia ordinata di numeri reali.
Per il metodo di Cramer servono i determinanti, che è una quantità ben definita per una matrice pari alla differenza dei prodotti dei coefficienti sulle due diagonali delle matrici. Se il determinante è diverso da 0 allora avremo che:

Criterio dei rapporti

Questo criterio permette di stabilire se un sistema ha soluzione guardando solo i coefficienti, senza risolverlo esplicitamente. In particolare:

• [math]\frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'} [/math]
  allora il sistema è determinato;
• [math]\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}[/math]
  allora il sistema è impossibile;
• Se tutti i rapporti precedenti sono uguali, il sistema è indeterminato, ovvero ha infinite soluzioni.