Sistemi lineari: risoluzione

La terminologia sui sistemi

Che cos'è un sistema di equazioni?: è un insieme di duo o più equazioni, che si vuole siano soddisfatte contemporaneamente. Si indica scrivendo le equazioni una al di sotto dell'altra e racchiudendole con una parentesi graffa posta alla loro sinistra.
Che cos'è il grado di un sistema intero?: è il prodotto dei gradi delle singole equazioni che lo compongono.
Qual è la forma normale di un sistema lineare di due equazioni nelle due incognite x e y?: ax+by=c a'x+b'y=c'
Da che cosa è costituita una soluzione di un sistema di due equazioni nelle due incognite x e y?: da una coppia ordinata (x;y) di numeri reali che, sostituiti al posto di x e di y nelle due equazioni del sistema, rendono entrambe le equazioni vere.

Metodo di sostituzione

Risolvere una delle due equazioni del sistema rispetto a un'incognita (scegliendo l'equazione e l'incognita in modo da essere condotti a calcoli più semplici possibili). Sostituire l'espressione trovata nell'altra equazione: si ottiene così un'equazione in una sola incognita, detta equazione risolvente del sistema. Risolvere l'equazione risolvente, sostituire il valore dell'incognita trovata nell'equazione esplicitata inizialmente e ricavare il valore dell'incognita ancora da determinare. Scrivere la soluzione del sistema.

Metodo di risoluzione (addizione e sottrazione)

I coefficienti di una delle due incognite nelle due equazioni sono uguali o opposti?
Se sono uguali: sommare o sottrarre le due equazioni, in modo da ottenere un'equazione risolvente in una sola incognita, risolvere l'equazione risolvente, sostituire il valore dell'incognita trovata in un'equazione del sistema, per trovare il valore dell'altra incognita. Scrivere la soluzione del sistema.
Se sono opposti: moltiplicare i due membri delle equazioni per fattori opportuni, in modo da ottenere due equazioni nelle quali i coefficienti di un'incognita siano uguali o opposti, poi svolgere il procedimento scritto sopra.

Metodo di Cramer

Attenzione: il fatto che un sistema sia indeterminato, cioè che abbia infinite soluzioni, non significa che è soddisfatto da ogni coppia ordinata di numeri reali.
Per il metodo di Cramer servono i determinanti, cioè il risultato della matrice 2X2 del sistema. Se D è diverso da 0 allora avremo che:
x= Dx/D
y= Dy/D

Criterio dei rapporti

a/a' diverso b/b' allora il sistema è determinato
a/a' = b/b' diverso da c/c' allora il sistema è impossibile
a/a' = b/b' = c/c' allora il sistema è indeterminato