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Equazioni, disequazioni e sistemi di disequazioni

1. Le regole che ci permettono di trasformare un'equazione in un'altra equazione equivalente, sono dette "principi di equivalenza".
Il primo principio di equivalenza afferma che: se in un'equazione aggiungiamo un qualsiasi numero o una qualsiasi espressione numerica ad entrambi i membri, si ottiene un'equazione equivalente.
Il secondo principio di equivalenza, invece, dice che: se in un'equazione si moltiplica o si divide i due membri per uno stesso numero, si ottiene un'equazione equivalente.
Questo può essere applicato, però, solo se l'espressione aggiunta non restringe il campo di esistenza dell'equazione.

2. Per risolvere un'equazione numerica intera, bisogna applicare i principi di equivalenza, in modo da ridurre l'equazione nella forma ax=b, cioè in modo tale che al primo membro ci sia l'incognita (x) e al secondo membro ci sia il termine noto. Infine, applicando ancora una volta il secondo principio di equivalenza, si ottiene la soluzione dell'equazione.

3. Per risolvere un'equazione numerica fratta (cioè un'equazione in cui abbiamo l'incognita anche al denominatore con coefficiente numerico) bisogna determinare le condizioni di esistenza.
Determinate le C.E., si procede all'applicazione dei principi di equivalenza, e si ottiene il risultato, che deve rispettare le condizioni di esistenza determinate inizialmente.

4. Il metodo di risoluzione di una disequazione è del tutto simile a quello utilizzato per le equazioni.
Quando si deve cambiare di segno, però, bisogna invertire anche il verso (>, <).

5. Prima di procedere allo svolgimento di una disequazione fratta (Nx\Dx >0) bisogna determinare in quale intervallo di valori risultano positivi o negativi numeratore e denominatore, ponendo N(x)>0 e D(x)>0.
Dopo aver fatto questo, si traccia una freccia continua, e su questa posizioniamo la soluzione del numeratore e del denominatore, indicando dove il risultato finale (quello della frazione) è negativo o positivo.

6. Se consideriamo due disequazioni, ci possono essere valori di x che le soddisfano entrambe. Le due equazioni formano dunque un "sistema" e i valori di x ne rappresentano la soluzione.
In questo caso, prima si risolvono le due equazioni separatamente e successivamente su una linea continua si tracciano le due soluzioni. La soluzione del sistema è data dalla soluzione comune alle due disequazioni.

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