Sistemi di equazioni, Metodo di addizione e sottrazione

Risolvere un sistema di equazioni

Sistema di equazioni

Un sistema di due o più equazioni nelle stesse incognite che si vuole siano soddisfatte contemporaneamente si chiama sistema di equazioni.
Per indicare un sistema di equazioni si usa scrivere le equazioni su righe diverse, racchiudendole con una parentesi graffa posta alla loro sinistra.

Metodo di addizione e sottrazione per un sistema di due equazioni in due incognite

Ricordiamo, anzitutto, la seguente proprietà dei numeri reali; se
A = B e C = D
allora
A + C = B + D e A - C = B - D
Questa proprietà consente di addizionare o sottrarre membro a membro le equazioni di un sistema ed è alla base di un metodo per risolvere i sistemi, detto metodo di addizione o sottrazione (o metodo di riduzione). Per introdurre questo metodo cominciamo con un esempio:

2x - 3y = 5
5x + 3y = 9

in questo caso, la possibilità di addizionare membro a membro le due equazioni del sistema è particolarmente vantaggioso perché nella prima equazione compare il termine -3y e nella seconda compare il termine +3y. Questi due termini sono opposti, quindi, addizionandoli, otteniamo 0, ovvero riusciamo a "eliminare" la variabile y e a ottenere un'equazione risolvente in x. Facciamo i calcoli:

2x - 3y = 5
5x + 3y = 9
-----------
7x + 0 = 14
7x = 14
x = 2

per determinare il valore di y, sostituiamo 2 al posto di x in una delle due equazioni del sistema e risolviamo l'equazione ottenuta. Per esempio, sostituendo nella prima equazione otteniamo:

2x - 3y = 5
x = 2

2 × 2 - 3y = 5
x = 2

-3y = 1
x = 2

y = - 1/3
x = 2