Sistemi di tre o più equazioni

I sistemi di equazioni possono essere composti da un numero qualsiasi di equazioni, e un numero qualsiasi di incognite. In particolare, vengono trattati principalmente i sistemi lineari in cui il numero di equazioni uguale al numero di incognite e, per questo tipo di sistemi, le nozioni riguardanti i sistemi lineari a due incognite possono essere generalizzati.

Evidenziamo alcuni concetti base:

• una soluzione di un sistema a tre incognite costituita da una terna ordinata di numeri reali;
• una soluzione di un sistema a quattro incognite costituita da una quaterne ordinata di numeri reali;
• .

In generale, una soluzione di un sistema a n incognite costituita da una n-pla ordinata di numeri reali.

• Per i sistemi a tre, quattro, , n equazioni in tre, quattro, ,
  [math]n[/math]
  incognite valgono i concetti di sistema equivalente, sistema determinato, indeterminato e impossibile gi esaminati per i sistemi a due equazioni in due incognite; anche i concetti di grado di un sistema, e grado di unequazione sono gli stessi.

Risoluzione dei sistemi lineari di tre o pi equazioni

I metodi risolutivi dei sistemi a due equazioni in due incognite, in particolare modo il metodo di sostituzione, di eliminazione, e la regola di Cramer, possono essere applicati anche ai sistemi di tre o pi equazioni.

Il metodo di sostituzione

Il metodo di sostituzione applicabile, senza modifiche, ai sistemi di tre o pi equazioni; tuttavia, a volte i calcoli possono diventare particolarmente laboriosi. Vediamo, quindi, alcune linee guida da seguire per semplificare loperazione:

• si ricava unincognita dalla prima equazione e si sostituisce nella seconda, nella terza, ecc.;
• si semplificano le equazioni in cui sono state fatte le sostituzioni;
• si ricava unaltra incognita dalla seconda equazione, e si sostituisce nella terza, nella quarta, ecc. (non nella prima!);
• si semplificano le equazioni in cui sono state fatte le sostituzioni;
• si procede in questo modo finch non si trova unequazione che ha una sola incognita; si risolve, quindi, questa equazione;
• si sostituisce nella penultima equazione il valore dellincognita trovata, determinando cos unaltra incognita;
• si procede a ritroso, fino a tornare alla prima equazione, determinando cos il valore di tutte le incognite.

Esempio

Risolviamo con il metodo di sostituzione il seguente sistema lineare a tre equazioni in tre incognite:

Ricaviamo dalla prima equazione:
e sostituiamola nella seconda e nella terza:
semplifichiamo le equazioni:
Ora, ricaviamo dalla seconda equazione e sostituiamola nella terza:
La terza equazione ha solo lincognita , che pu essere subito determinata:
Sostituiamo il valore trovato di nella seconda equazione, determinando cos :
Sostituiamo i valori di e nella prima equazione, determinando cos anche :

Il metodo di eliminazione

Il principio di riduzione, gi visto per i sistemi lineari a due equazioni in due incognite, pu essere applicato per tutti i sistemi lineari, che possono essere risolti con il metodo di eliminazione; tuttavia, invece di formulare un metodo generale di eliminazione per i sistemi a pi equazione, mostriamo come questo metodo possa essere applicato ad alcuni tipi di sistemi per semplificare notevolmente i calcoli.

Esempio

Consideriamo il seguente sistema:

Notiamo che la prima e la seconda equazione hanno i coefficienti di e opposti; possiamo quindi applicare il metodo di eliminazione a queste due equazioni, determinando cos la prima incognita:
[(x+y+z)+(x-y-z)=0+4\ 2x=4
ightarrow x=2 ]
Anche la seconda e la terza equazione hanno i termini di e di opposti; applichiamo quindi leliminazione anche alla seconda e alla terza equazione:
[(x-y-z)+(-x+y-z)=4-4\ -2z=0
ightarrow z=0]
Ora che conosciamo il valore di due delle tre incognite del sistema, per trovare la terza sar sufficiente sostituire i loro valori in una delle equazioni del sistema, per esempio la prima:

La regola di Cramer

Questa regola pu essere applicata anche ai sistemi di tre equazioni, con alcune modifiche per il calcolo del determinante.

Consideriamo un sistema generico:

Il cui determinante viene espresso in questo modo:

Per calcolare questo determinante si ricorre alla Regola di Sarrus, per cui si procede moltiplicando i termini, disposti nel seguente modo, nellordine delle frecce, ricordandosi che quando si procede da sinistra a destra di scrive il prodotto con il suo segno, mentre quando si procede da destra a sinistra si scrive il prodotto con il segno cambiato:

[url=https://www.skuola.net/news_foto/2015/09/sarrus.png][/url]

Come nel caso dei determinanti per le i sistemi a due incognite, abbiamo:

E la soluzione, se il determinante del sistema diverso da zero, una terna ordinata formata in questo modo: